Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsfcl2 Unicode version

Theorem lgsfcl2 20557
 Description: The function is closed in integers with absolute value less than (namely although this representation is less useful to us). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1
lgsfcl2.z
Assertion
Ref Expression
lgsfcl2
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lgsfcl2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10051 . . . . . . . 8
2 0le1 9313 . . . . . . . 8
3 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
4 abs0 11786 . . . . . . . . . . 11
53, 4syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10
65breq1d 4049 . . . . . . . . 9
7 lgsfcl2.z . . . . . . . . 9
86, 7elrab2 2938 . . . . . . . 8
91, 2, 8mpbir2an 886 . . . . . . 7
10 1z 10069 . . . . . . . . 9
11 1le1 9412 . . . . . . . . 9
12 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
13 abs1 11798 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11
1514breq1d 4049 . . . . . . . . . 10
1615, 7elrab2 2938 . . . . . . . . 9
1710, 11, 16mpbir2an 886 . . . . . . . 8
18 znegcl 10071 . . . . . . . . . 10
1910, 18ax-mp 8 . . . . . . . . 9
20 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
21 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14
2221absnegi 11899 . . . . . . . . . . . . 13
2322, 13eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12
2420, 23syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11
2524breq1d 4049 . . . . . . . . . 10
2625, 7elrab2 2938 . . . . . . . . 9
2719, 11, 26mpbir2an 886 . . . . . . . 8
2817, 27keepel 3635 . . . . . . 7
299, 28keepel 3635 . . . . . 6
3029a1i 10 . . . . 5
31 simpl1 958 . . . . . . 7
3231ad2antrr 706 . . . . . 6
33 simplr 731 . . . . . . 7
34 simpr 447 . . . . . . . 8
35 df-ne 2461 . . . . . . . 8
3634, 35sylibr 203 . . . . . . 7
37 eldifsn 3762 . . . . . . 7
3833, 36, 37sylanbrc 645 . . . . . 6
397lgslem4 20554 . . . . . 6
4032, 38, 39syl2anc 642 . . . . 5
4130, 40ifclda 3605 . . . 4
42 simpr 447 . . . . 5
43 simpll2 995 . . . . 5
44 simpll3 996 . . . . 5
45 pczcl 12917 . . . . 5
4642, 43, 44, 45syl12anc 1180 . . . 4
47 ssrab2 3271 . . . . . . 7
487, 47eqsstri 3221 . . . . . 6
49 zsscn 10048 . . . . . 6
5048, 49sstri 3201 . . . . 5
517lgslem3 20553 . . . . 5
5250, 51, 17expcllem 11130 . . . 4
5341, 46, 52syl2anc 642 . . 3
5417a1i 10 . . 3
5553, 54ifclda 3605 . 2
56 lgsval.1 . 2
5755, 56fmptd 5700 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  crab 2560   cdif 3162  cif 3578  csn 3653  cpr 3654   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  c7 9816  c8 9817  cn0 9981  cz 10040   cmo 10989  cexp 11120  cabs 11735   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905 This theorem is referenced by:  lgscllem  20558  lgsfcl  20559  lgsfle1  20560 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-phi 12850  df-pc 12906
 Copyright terms: Public domain W3C validator