MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem2 Unicode version

Theorem lgslem2 20536
Description: The set  Z of all integers with absolute value at most  1 contains  { -u 1 ,  0 ,  1 }. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
Assertion
Ref Expression
lgslem2  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )

Proof of Theorem lgslem2
StepHypRef Expression
1 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 znegcl 10055 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  -u 1  e.  ZZ
4 1le1 9396 . . 3  |-  1  <_  1
5 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  -u 1
) )
6 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
76absnegi 11883 . . . . . . 7  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
8 abs1 11782 . . . . . . 7  |-  ( abs `  1 )  =  1
97, 8eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
105, 9syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  -u 1  ->  ( abs `  x )  =  1 )
1110breq1d 4033 . . . 4  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
12 lgslem2.z . . . 4  |-  Z  =  { x  e.  ZZ  |  ( abs `  x
)  <_  1 }
1311, 12elrab2 2925 . . 3  |-  ( -u
1  e.  Z  <->  ( -u 1  e.  ZZ  /\  1  <_ 
1 ) )
143, 4, 13mpbir2an 886 . 2  |-  -u 1  e.  Z
15 0z 10035 . . 3  |-  0  e.  ZZ
16 0le1 9297 . . 3  |-  0  <_  1
17 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  0
) )
18 abs0 11770 . . . . . 6  |-  ( abs `  0 )  =  0
1917, 18syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  x )  =  0 )
2019breq1d 4033 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  0  <_  1 ) )
2120, 12elrab2 2925 . . 3  |-  ( 0  e.  Z  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  0  <_  1 ) )
2215, 16, 21mpbir2an 886 . 2  |-  0  e.  Z
23 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  1
) )
2423, 8syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  1 )
2524breq1d 4033 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  x
)  <_  1  <->  1  <_  1 ) )
2625, 12elrab2 2925 . . 3  |-  ( 1  e.  Z  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  1  <_  1 ) )
271, 4, 26mpbir2an 886 . 2  |-  1  e.  Z
2814, 22, 273pm3.2i 1130 1  |-  ( -u
1  e.  Z  /\  0  e.  Z  /\  1  e.  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   0cc0 8737   1c1 8738    <_ cle 8868   -ucneg 9038   ZZcz 10024   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  lgslem4  20538  lgscllem  20542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
  Copyright terms: Public domain W3C validator