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Theorem lgsmod 20783
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction  mod  n when  n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 11153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  N
)  e.  NN0 )
213adant3 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 10266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  mod  N )  e.  ZZ )
5 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  Prime )
7 simpl3 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  N )
8 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  2  ->  (
n  ||  N  <->  2  ||  N ) )
98notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  2  ->  ( -.  n  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
107, 9syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  =  2  ->  -.  n  ||  N ) )
1110necon2ad 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  ||  N  ->  n  =/=  2
) )
1211imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  =/=  2 )
13 eldifsn 3842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( n  e.  Prime  /\  n  =/=  2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
15 oddprm 13076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
1716nnnn0d 10167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
18 zexpcl 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
194, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2019zred 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
21 simpll1 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
22 zexpcl 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2321, 17, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
2423zred 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  RR )
25 1re 8984 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2625a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  1  e.  RR )
27 prmnn 12969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2827ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  NN )
2928nnrpd 10540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  RR+ )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  N )
3121zred 10268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  RR )
32 simp2 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3332ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3433nnrpd 10540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  RR+ )
35 modabs2 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
3631, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
37 moddvds 12746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3833, 4, 21, 37syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3936, 38mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
40 prmz 12970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ZZ )
4140ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
4233nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
434, 21zsubcld 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )
44 dvdstr 12770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  ||  N  /\  N  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  ||  N  /\  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4630, 39, 45mp2and 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
47 moddvds 12746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4828, 4, 21, 47syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4946, 48mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )
50 modexp 11401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )  -> 
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
)  =  ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n ) )
514, 21, 17, 29, 49, 50syl221anc 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )
52 modadd1 11165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5320, 24, 26, 29, 51, 52syl221anc 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5453oveq1d 5996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
55 lgsval3 20776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
564, 14, 55syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
57 lgsval3 20776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
5821, 14, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
5954, 56, 583eqtr4d 2408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( A  / L n ) )
6059oveq1d 5996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) )
613ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
6240ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
63 lgscl 20772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6564zcnd 10269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  CC )
6665exp0d 11404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  1 )
67 simpll1 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
68 lgscl 20772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A  / L
n )  e.  ZZ )
6967, 62, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  ZZ )
7069zcnd 10269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  CC )
7170exp0d 11404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
0 )  =  1 )
7266, 71eqtr4d 2401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7332adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
74 pceq0 13131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( n  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
755, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( n 
pCnt  N )  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
7675biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( n  pCnt  N
)  =  0 )
7776oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ 0 ) )
7876oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7972, 77, 783eqtr4d 2408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8060, 79pm2.61dan 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n  pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8180ifeq1da 3679 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8281mpteq2dv 4209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )
8382seqeq3d 11218 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) )
8483fveq1d 5634 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  N
) )
85 eqid 2366 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
8685lgsval4a 20780 . . 3  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
873, 32, 86syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
88 eqid 2366 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8988lgsval4a 20780 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
90893adant3 976 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
9184, 87, 903eqtr4d 2408 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529    \ cdif 3235   ifcif 3654   {csn 3729   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    - cmin 9184    / cdiv 9570   NNcn 9893   2c2 9942   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   RR+crp 10505    mod cmo 11137    seq cseq 11210   ^cexp 11269    || cdivides 12739   Primecprime 12966    pCnt cpc 13097    / Lclgs 20756
This theorem is referenced by:  lgsqr  20808  lgsdchrval  20809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-prm 12967  df-phi 13042  df-pc 13098  df-lgs 20757
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