MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsmod Unicode version

Theorem lgsmod 20560
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction  mod  n when  n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 10989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  N
)  e.  NN0 )
213adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  mod  N )  e.  ZZ )
5 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  Prime )
7 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  N )
8 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  2  ->  (
n  ||  N  <->  2  ||  N ) )
98notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  2  ->  ( -.  n  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
107, 9syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  =  2  ->  -.  n  ||  N ) )
1110necon2ad 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  ||  N  ->  n  =/=  2
) )
1211imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  =/=  2 )
13 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( n  e.  Prime  /\  n  =/=  2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
15 oddprm 12868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
1716nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
18 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
194, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2019zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
21 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
22 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2321, 17, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
2423zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  RR )
25 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2625a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  1  e.  RR )
27 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2827ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  NN )
2928nnrpd 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  RR+ )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  N )
3121zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  RR )
32 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3332ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3433nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  RR+ )
35 modabs2 10998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
3631, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
37 moddvds 12538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3833, 4, 21, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3936, 38mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
40 prmz 12762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ZZ )
4140ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
4233nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
434, 21zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )
44 dvdstr 12562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  ||  N  /\  N  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  ||  N  /\  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4630, 39, 45mp2and 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
47 moddvds 12538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4828, 4, 21, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4946, 48mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )
50 modexp 11236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )  -> 
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
)  =  ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n ) )
514, 21, 17, 29, 49, 50syl221anc 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )
52 modadd1 11001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5320, 24, 26, 29, 51, 52syl221anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5453oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
55 lgsval3 20553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
564, 14, 55syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
57 lgsval3 20553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
5821, 14, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
5954, 56, 583eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( A  / L n ) )
6059oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) )
613ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
6240ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
63 lgscl 20549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6564zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  CC )
6665exp0d 11239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  1 )
67 simpll1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
68 lgscl 20549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A  / L
n )  e.  ZZ )
6967, 62, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  ZZ )
7069zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  CC )
7170exp0d 11239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
0 )  =  1 )
7266, 71eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7332adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
74 pceq0 12923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( n  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
755, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( n 
pCnt  N )  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
7675biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( n  pCnt  N
)  =  0 )
7776oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ 0 ) )
7876oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7972, 77, 783eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8060, 79pm2.61dan 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n  pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8180ifeq1da 3590 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8281mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )
8382seqeq3d 11054 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) )
8483fveq1d 5527 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  N
) )
85 eqid 2283 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
8685lgsval4a 20557 . . 3  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
873, 32, 86syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
88 eqid 2283 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8988lgsval4a 20557 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
90893adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
9184, 87, 903eqtr4d 2325 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   ifcif 3565   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354    mod cmo 10973    seq cseq 11046   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889    / Lclgs 20533
This theorem is referenced by:  lgsqr  20585  lgsdchrval  20586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-lgs 20534
  Copyright terms: Public domain W3C validator