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Theorem lgsmod 21062
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction  mod  n when  n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 11225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  N
)  e.  NN0 )
213adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 10333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
43ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  mod  N )  e.  ZZ )
5 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
65adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  Prime )
7 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  N )
8 breq1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  2  ->  (
n  ||  N  <->  2  ||  N ) )
98notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  2  ->  ( -.  n  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
107, 9syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  =  2  ->  -.  n  ||  N ) )
1110necon2ad 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  ||  N  ->  n  =/=  2
) )
1211imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  =/=  2 )
13 eldifsn 3891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( n  e.  Prime  /\  n  =/=  2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
15 oddprm 13148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
1716nnnn0d 10234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
18 zexpcl 11355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
194, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2019zred 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
21 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
22 zexpcl 11355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2321, 17, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
2423zred 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  RR )
25 1re 9050 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  1  e.  RR )
27 prmnn 13041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2827ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  NN )
2928nnrpd 10607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  RR+ )
30 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  N )
3121zred 10335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  RR )
32 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3433nnrpd 10607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  RR+ )
35 modabs2 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
3631, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
37 moddvds 12818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3833, 4, 21, 37syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3936, 38mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
40 prmz 13042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ZZ )
4140ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
4233nnzd 10334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
434, 21zsubcld 10340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )
44 dvdstr 12842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  ||  N  /\  N  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  ||  N  /\  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4630, 39, 45mp2and 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
47 moddvds 12818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4828, 4, 21, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4946, 48mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )
50 modexp 11473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )  -> 
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
)  =  ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n ) )
514, 21, 17, 29, 49, 50syl221anc 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )
52 modadd1 11237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5320, 24, 26, 29, 51, 52syl221anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5453oveq1d 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
55 lgsval3 21055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
564, 14, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
57 lgsval3 21055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
5821, 14, 57syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
5954, 56, 583eqtr4d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( A  / L n ) )
6059oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) )
613ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
6240ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
63 lgscl 21051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6564zcnd 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  CC )
6665exp0d 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  1 )
67 simpll1 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
68 lgscl 21051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A  / L
n )  e.  ZZ )
6967, 62, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  ZZ )
7069zcnd 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  CC )
7170exp0d 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
0 )  =  1 )
7266, 71eqtr4d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7332adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
74 pceq0 13203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( n  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
755, 73, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( n 
pCnt  N )  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
7675biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( n  pCnt  N
)  =  0 )
7776oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ 0 ) )
7876oveq2d 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7972, 77, 783eqtr4d 2450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8060, 79pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n  pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8180ifeq1da 3728 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8281mpteq2dv 4260 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )
8382seqeq3d 11290 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) )
8483fveq1d 5693 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  N
) )
85 eqid 2408 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
8685lgsval4a 21059 . . 3  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
873, 32, 86syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
88 eqid 2408 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8988lgsval4a 21059 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
90893adant3 977 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
9184, 87, 903eqtr4d 2450 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    \ cdif 3281   ifcif 3703   {csn 3778   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    - cmin 9251    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   RR+crp 10572    mod cmo 11209    seq cseq 11282   ^cexp 11341    || cdivides 12811   Primecprime 13038    pCnt cpc 13169    / Lclgs 21035
This theorem is referenced by:  lgsqr  21087  lgsdchrval  21088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-prm 13039  df-phi 13114  df-pc 13170  df-lgs 21036
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