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Theorem lgsmod 21110
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under reduction  mod  n when  n is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )

Proof of Theorem lgsmod
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmodcl 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  mod  N
)  e.  NN0 )
213adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
43ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  mod  N )  e.  ZZ )
5 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
65adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  Prime )
7 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  N )
8 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  2  ->  (
n  ||  N  <->  2  ||  N ) )
98notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  2  ->  ( -.  n  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
107, 9syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  =  2  ->  -.  n  ||  N ) )
1110necon2ad 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  ||  N  ->  n  =/=  2
) )
1211imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  =/=  2 )
13 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( n  e.  Prime  /\  n  =/=  2 ) )
146, 12, 13sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
15 oddprm 13194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
1716nnnn0d 10279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
18 zexpcl 11401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
194, 17, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2019zred 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )
21 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
22 zexpcl 11401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( n  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
2321, 17, 22syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
2423zred 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  e.  RR )
25 1re 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  1  e.  RR )
27 prmnn 13087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2827ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  NN )
2928nnrpd 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  RR+ )
30 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  N )
3121zred 10380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  A  e.  RR )
32 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3332ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  NN )
3433nnrpd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  RR+ )
35 modabs2 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
3631, 34, 35syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  N )  =  ( A  mod  N ) )
37 moddvds 12864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3833, 4, 21, 37syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  N )  =  ( A  mod  N )  <->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) ) )
3936, 38mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
40 prmz 13088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ZZ )
4140ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
4233nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  N  e.  ZZ )
434, 21zsubcld 10385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )
44 dvdstr 12888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( A  mod  N
)  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  ||  N  /\  N  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( n  ||  N  /\  N  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )  ->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4630, 39, 45mp2and 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  n  ||  ( ( A  mod  N )  -  A ) )
47 moddvds 12864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4828, 4, 21, 47syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n )  <->  n  ||  (
( A  mod  N
)  -  A ) ) )
4946, 48mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )
50 modexp 11519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  mod  N )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( n  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  n  e.  RR+ )  /\  ( ( A  mod  N )  mod  n )  =  ( A  mod  n ) )  -> 
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
)  =  ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n ) )
514, 21, 17, 29, 49, 50syl221anc 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )
52 modadd1 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  e.  RR  /\  ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  e.  RR )  /\  ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  /\  (
( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  mod  n )  =  ( ( A ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  mod  n
) )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5320, 24, 26, 29, 51, 52syl221anc 1196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  =  ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n ) )
5453oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( ( ( A  mod  N ) ^ ( ( n  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  n
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
55 lgsval3 21103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N
) ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
564, 14, 55syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( ( ( ( ( A  mod  N ) ^
( ( n  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
57 lgsval3 21103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) )
5821, 14, 57syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  ( A  / L n )  =  ( ( ( ( A ^ (
( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  - 
1 ) )
5954, 56, 583eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( A  mod  N
)  / L n )  =  ( A  / L n ) )
6059oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  n  ||  N )  ->  (
( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) )
613ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  mod  N
)  e.  ZZ )
6240ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  n  e.  ZZ )
63 lgscl 21099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  ZZ )
6564zcnd 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L n )  e.  CC )
6665exp0d 11522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  1 )
67 simpll1 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
68 lgscl 21099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( A  / L
n )  e.  ZZ )
6967, 62, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  ZZ )
7069zcnd 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( A  / L
n )  e.  CC )
7170exp0d 11522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
0 )  =  1 )
7266, 71eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
0 )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7332adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
74 pceq0 13249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( n  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
755, 73, 74syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( n 
pCnt  N )  =  0  <->  -.  n  ||  N ) )
7675biimpar 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( n  pCnt  N
)  =  0 )
7776oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ 0 ) )
7876oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ 0 ) )
7972, 77, 783eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  /\  -.  n  ||  N )  -> 
( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8060, 79pm2.61dan 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  /\  n  e.  Prime )  ->  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n  pCnt  N ) )  =  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) )
8180ifeq1da 3766 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8281mpteq2dv 4299 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )
8382seqeq3d 11336 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) )
8483fveq1d 5733 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  N
) )
85 eqid 2438 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
8685lgsval4a 21107 . . 3  |-  ( ( ( A  mod  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
873, 32, 86syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( ( A  mod  N )  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  N ) )
88 eqid 2438 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
8988lgsval4a 21107 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
90893adant3 978 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 N ) )
9184, 87, 903eqtr4d 2480 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  -.  2  ||  N )  -> 
( ( A  mod  N )  / L N
)  =  ( A  / L N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   RR+crp 10617    mod cmo 11255    seq cseq 11328   ^cexp 11387    || cdivides 12857   Primecprime 13084    pCnt cpc 13215    / Lclgs 21083
This theorem is referenced by:  lgsqr  21135  lgsdchrval  21136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-phi 13160  df-pc 13216  df-lgs 21084
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