MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Unicode version

Theorem lgsqrlem1 20686
Description: Lemma for lgsqr 20691. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqrlem1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqrlem1.4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
21fveq2i 5608 . . . 4  |-  ( O `
 T )  =  ( O `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
32fveq1i 5606 . . 3  |-  ( ( O `  T ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)
4 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
5 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
6 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
7 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
9 eldifi 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
108, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
11 lgsqr.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1211znfld 16614 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
1310, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
14 fldidom 16139 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
16 isidom 16138 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
1716simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
19 crngrng 15444 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
21 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
22 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2321, 22zrhrhm 16566 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
2420, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
25 zsubrg 16525 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2621subrgbas 15647 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
2827, 6rhmf 15597 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y )
)
2924, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
30 lgsqrlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
31 ffvelrn 5743 . . . . . 6  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
) )
3229, 30, 31syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
33 lgsqr.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  Y )
344, 33, 6, 5, 7, 18, 32evl1vard 19514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( ( O `  X ) `  ( L `  A )
)  =  ( L `
 A ) ) )
35 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
36 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  (.g `  (mulGrp `  Y ) )  =  (.g `  (mulGrp `  Y
) )
37 oddprm 12959 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
388, 37syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
3938nnnn0d 10107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
404, 5, 6, 7, 18, 32, 34, 35, 36, 39evl1expd 19519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) ) )
41 cnrng 16496 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  Ring
42 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4321, 42mgpress 15429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  ZZ  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp `  (flds  ZZ ) ) )
4441, 25, 43mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp `  (flds  ZZ ) )
45 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
4644, 45rhmmhm 15595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4724, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4844, 27mgpbas 15424 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
49 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
5048, 49, 36mhmmulg 14692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) )  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
5147, 39, 30, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
5242subrgsubm 15651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
5325, 52mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
54 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
55 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )
5654, 55, 49submmulg 14695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5753, 39, 30, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5830zcnd 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
59 cnfldexp 16507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
6058, 39, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
6157, 60eqtr3d 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A )  =  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
6261fveq2d 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( L `
 ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
63 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
64 prmnn 12852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
6510, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
66 zexpcl 11208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
6730, 39, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
68 1z 10142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
6968a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
70 moddvds 12629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
7165, 67, 69, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P )  <-> 
P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  - 
1 ) ) )
7263, 71mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) )
7365nnnn0d 10107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
7411, 22zndvds 16603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
7573, 67, 69, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( L `
 1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
7672, 75mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 ) )
77 cnfld1 16499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 1r ` fld )
7821, 77subrg1 15648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  (flds  ZZ )
) )
7925, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r `  (flds  ZZ ) )
80 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
8179, 80rhm1 15601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Y ) )
8224, 81syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Y ) )
8362, 76, 823eqtrd 2394 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
8451, 83eqtr3d 2392 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
8584eqeq2d 2369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) )  <-> 
( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
8685anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X ) ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) ) )  <->  ( (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B  /\  (
( O `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
) ) ) )
8740, 86mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
88 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
896, 80rngidcl 15454 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
9020, 89syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
914, 5, 6, 88, 7, 18, 90, 32evl1scad 19512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
92 lgsqr.u . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
935, 88, 80, 92ply1scl1 16460 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
9420, 93syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
9594eleq1d 2424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  <->  .1.  e.  B ) )
9694fveq2d 5609 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( O `  .1.  ) )
9796fveq1d 5607 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A
) ) )
9897eqeq1d 2366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) ) ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y )  <->  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
9995, 98anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )  <-> 
(  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) ) )
10091, 99mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
101 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
102 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( -g `  Y )  =  (
-g `  Y )
1034, 5, 6, 7, 18, 32, 87, 100, 101, 102evl1subd 19516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  .-  .1.  )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) ) )
104103simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
1053, 104syl5eq 2402 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
106 rnggrp 15439 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
10720, 106syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
108 eqid 2358 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
1096, 108, 102grpsubid 14643 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( 1r `  Y
) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) )  =  ( 0g `  Y
) )
110107, 90, 109syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y ) ( 1r
`  Y ) )  =  ( 0g `  Y ) )
111105, 110eqtrd 2390 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    \ cdif 3225   {csn 3716   class class class wbr 4102   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   1c1 8825    - cmin 9124    / cdiv 9510   NNcn 9833   2c2 9882   NN0cn0 10054   ZZcz 10113    mod cmo 11062   ^cexp 11194    || cdivides 12622   Primecprime 12849   Basecbs 13239   ↾s cress 13240   0gc0g 13493   Grpcgrp 14455   -gcsg 14458  .gcmg 14459   MndHom cmhm 14506  SubMndcsubmnd 14507  mulGrpcmgp 15418   Ringcrg 15430   CRingccrg 15431   1rcur 15432   RingHom crh 15587  Fieldcfield 15606  SubRingcsubrg 15634  Domncdomn 16114  IDomncidom 16115  algSccascl 16145  var1cv1 16344  Poly1cpl1 16345  eval1ce1 16347  ℂfldccnfld 16476   ZRHomczrh 16551  ℤ/nczn 16554   deg1 cdg1 19538
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  20687  lgsqrlem3  20688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-ofr 6163  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-ec 6746  df-qs 6750  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-dvds 12623  df-gcd 12777  df-prm 12850  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-prds 13441  df-pws 13443  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-imas 13504  df-divs 13505  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-mhm 14508  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-mulg 14585  df-subg 14711  df-nsg 14712  df-eqg 14713  df-ghm 14774  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-cring 15434  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-rnghom 15589  df-drng 15607  df-field 15608  df-subrg 15636  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-sra 16018  df-rgmod 16019  df-lidl 16020  df-rsp 16021  df-2idl 16077  df-nzr 16103  df-rlreg 16117  df-domn 16118  df-idom 16119  df-assa 16146  df-asp 16147  df-ascl 16148  df-psr 16191  df-mvr 16192  df-mpl 16193  df-evls 16194  df-evl 16195  df-opsr 16199  df-psr1 16350  df-vr1 16351  df-ply1 16352  df-evl1 16354  df-cnfld 16477  df-zrh 16555  df-zn 16558
  Copyright terms: Public domain W3C validator