Theorem lgsqrlem1 21078

Description: Lemma for lgsqr 21083. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgsqr.s	|- S = (Poly1 ` Y )
lgsqr.b	|- B = ( Base ` S )
lgsqr.d	|- D = ( deg1 ` Y )
lgsqr.o	|- O = (eval1 ` Y )
lgsqr.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
lgsqr.x	|- X = (var1 ` Y )
lgsqr.m	|- .- = ( -g ` S )
lgsqr.u	|- .1. = ( 1r ` S )
lgsqr.t	|- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
lgsqr.l	|- L = ( ZRHom ` Y )
lgsqr.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgsqrlem1.3	|- ( ph -> A e. ZZ )
lgsqrlem1.4	|- ( ph -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	|- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( 0g ` Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 |- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
2	1	fveq2i 5690	. . . 4 |- ( O ` T ) = ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) )
3	2	fveq1i 5688	. . 3 |- ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) )
4		lgsqr.o	. . . . 5 |- O = (eval1 ` Y )
5		lgsqr.s	. . . . 5 |- S = (Poly1 ` Y )
6		eqid 2404	. . . . 5 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
7		lgsqr.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
9	8	eldifad 3292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
11	10	znfld 16796	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> Y e. Field )
12	9, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. Field )
13		fldidom 16320	. . . . . . 7 |- ( Y e. Field -> Y e. IDomn )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. IDomn )
15		isidom 16319	. . . . . . 7 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
16	15	simplbi 447	. . . . . 6 |- ( Y e. IDomn -> Y e. CRing )
17	14, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. CRing )
18		crngrng 15629	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. Ring )
20		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- (ℂfld ↾s ZZ ) = (ℂfld ↾s ZZ )
21		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Y )
22	20, 21	zrhrhm 16748	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Ring -> L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) )
23	19, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) )
24		zsubrg 16707	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
25	20	subrgbas 15832	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ = ( Base ` (ℂfld ↾s ZZ ) ) )
26	24, 25	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` (ℂfld ↾s ZZ ) )
27	26, 6	rhmf 15782	. . . . . . 7 |- ( L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
28	23, 27	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
29		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
30	28, 29	ffvelrnd 5830	. . . . 5 |- ( ph -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
31		lgsqr.x	. . . . . . . 8 |- X = (var1 ` Y )
32	4, 31, 6, 5, 7, 17, 30	evl1vard 19906	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( ( O ` X ) ` ( L ` A ) ) = ( L ` A ) ) )
33		lgsqr.e	. . . . . . 7 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
34		eqid 2404	. . . . . . 7 |- (.g ` (mulGrp ` Y ) ) = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
35		oddprm 13144	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
36	8, 35	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
37	36	nnnn0d 10230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
38	4, 5, 6, 7, 17, 30, 32, 33, 34, 37	evl1expd 19911	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) ) )
39		cnrng 16678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ℂfld e. Ring
40		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
41	20, 40	mgpress 15614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (ℂfld e. Ring /\ ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` (ℂfld ↾s ZZ ) ) )
42	39, 24, 41	mp2an 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` (ℂfld ↾s ZZ ) )
43		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` Y ) = (mulGrp ` Y )
44	42, 43	rhmmhm 15780	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
45	23, 44	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
46	42, 26	mgpbas 15609	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
47		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) = (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
48	46, 47, 34	mhmmulg 14877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) )
49	45, 37, 29, 48	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) )
50	40	subrgsubm 15836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
51	24, 50	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
52		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) = (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
53		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
54	52, 53, 47	submmulg 14880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) )
55	51, 37, 29, 54	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) )
56	29	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
57		cnfldexp 16689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
58	56, 37, 57	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
59	55, 58	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
60	59	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
61		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
62		prmnn 13037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
63	9, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
64		zexpcl 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
65	29, 37, 64	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
66		1z 10267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
68		moddvds 12814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
69	63, 65, 67, 68	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
70	61, 69	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) )
71	63	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN0 )
72	10, 21	zndvds 16785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN0 /\ ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
73	71, 65, 67, 72	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
74	70, 73	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) )
75		cnfld1 16681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
76	20, 75	subrg1 15833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 = ( 1r ` (ℂfld ↾s ZZ ) ) )
77	24, 76	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` (ℂfld ↾s ZZ ) )
78		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
79	77, 78	rhm1 15786	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
80	23, 79	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
81	60, 74, 80	3eqtrd 2440	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( 1r ` Y ) )
82	49, 81	eqtr3d 2438	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) )
83	82	eqeq2d 2415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) <-> ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
84	83	anbi2d 685	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) ) <-> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) ) )
85	38, 84	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
86		eqid 2404	. . . . . . 7 |- (algSc ` S ) = (algSc ` S )
87	6, 78	rngidcl 15639	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Ring -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
88	19, 87	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
89	4, 5, 6, 86, 7, 17, 88, 30	evl1scad 19904	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B /\ ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
90		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 |- .1. = ( 1r ` S )
91	5, 86, 78, 90	ply1scl1 16638	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
92	19, 91	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
93	92	eleq1d 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B <-> .1. e. B ) )
94	92	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) = ( O ` .1. ) )
95	94	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) )
96	95	eqeq1d 2412	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
97	93, 96	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B /\ ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) <-> ( .1. e. B /\ ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) ) )
98	89, 97	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( .1. e. B /\ ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
99		lgsqr.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` S )
100		eqid 2404	. . . . 5 |- ( -g ` Y ) = ( -g ` Y )
101	4, 5, 6, 7, 17, 30, 85, 98, 99, 100	evl1subd 19908	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
102	101	simprd 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
103	3, 102	syl5eq 2448	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
104		rnggrp 15624	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. Grp )
105	19, 104	syl 16	. . 3 |- ( ph -> Y e. Grp )
106		eqid 2404	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
107	6, 106, 100	grpsubid 14828	. . 3 |- ( ( Y e. Grp /\ ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( 0g ` Y ) )
108	105, 88, 107	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( 0g ` Y ) )
109	103, 108	eqtrd 2436	1 |- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( 0g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   mod cmo 11205   ^cexp 11337   || cdivides 12807   Primecprime 13034   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643  ._gcmg 14644   MndHom cmhm 14691  SubMndcsubmnd 14692  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617   RingHom crh 15772  Fieldcfield 15791  SubRingcsubrg 15819  Domncdomn 16295  IDomncidom 16296  algSccascl 16326  var₁cv1 16525  Poly₁cpl1 16526  eval₁ce1 16528  ℂ_fldccnfld 16658   ZRHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736   deg₁ cdg1 19930

This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  21079  lgsqrlem3  21080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-field 15793  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-nzr 16284  df-rlreg 16298  df-domn 16299  df-idom 16300  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-evl1 16535  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740