Theorem lgsqrlem1 21125

Description: Lemma for lgsqr 21130. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` P )
lgsqr.s	|- S = (Poly1 ` Y )
lgsqr.b	|- B = ( Base ` S )
lgsqr.d	|- D = ( deg1 ` Y )
lgsqr.o	|- O = (eval1 ` Y )
lgsqr.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
lgsqr.x	|- X = (var1 ` Y )
lgsqr.m	|- .- = ( -g ` S )
lgsqr.u	|- .1. = ( 1r ` S )
lgsqr.t	|- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
lgsqr.l	|- L = ( ZRHom ` Y )
lgsqr.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgsqrlem1.3	|- ( ph -> A e. ZZ )
lgsqrlem1.4	|- ( ph -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	|- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( 0g ` Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 |- T = ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. )
2	1	fveq2i 5731	. . . 4 |- ( O ` T ) = ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) )
3	2	fveq1i 5729	. . 3 |- ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) )
4		lgsqr.o	. . . . 5 |- O = (eval1 ` Y )
5		lgsqr.s	. . . . 5 |- S = (Poly1 ` Y )
6		eqid 2436	. . . . 5 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
7		lgsqr.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
9	8	eldifad 3332	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 |- Y = (ℤ/nℤ ` P )
11	10	znfld 16841	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> Y e. Field )
12	9, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. Field )
13		fldidom 16365	. . . . . . 7 |- ( Y e. Field -> Y e. IDomn )
14	12, 13	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. IDomn )
15		isidom 16364	. . . . . . 7 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
16	15	simplbi 447	. . . . . 6 |- ( Y e. IDomn -> Y e. CRing )
17	14, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. CRing )
18		crngrng 15674	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. Ring )
20		eqid 2436	. . . . . . . . 9 |- (ℂfld ↾s ZZ ) = (ℂfld ↾s ZZ )
21		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Y )
22	20, 21	zrhrhm 16793	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Ring -> L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) )
23	19, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) )
24		zsubrg 16752	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
25	20	subrgbas 15877	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ = ( Base ` (ℂfld ↾s ZZ ) ) )
26	24, 25	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- ZZ = ( Base ` (ℂfld ↾s ZZ ) )
27	26, 6	rhmf 15827	. . . . . . 7 |- ( L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
28	23, 27	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Y ) )
29		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ZZ )
30	28, 29	ffvelrnd 5871	. . . . 5 |- ( ph -> ( L ` A ) e. ( Base ` Y ) )
31		lgsqr.x	. . . . . . . 8 |- X = (var1 ` Y )
32	4, 31, 6, 5, 7, 17, 30	evl1vard 19953	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. B /\ ( ( O ` X ) ` ( L ` A ) ) = ( L ` A ) ) )
33		lgsqr.e	. . . . . . 7 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` S ) )
34		eqid 2436	. . . . . . 7 |- (.g ` (mulGrp ` Y ) ) = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
35		oddprm 13189	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
36	8, 35	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
37	36	nnnn0d 10274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
38	4, 5, 6, 7, 17, 30, 32, 33, 34, 37	evl1expd 19958	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) ) )
39		cnrng 16723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ℂfld e. Ring
40		eqid 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
41	20, 40	mgpress 15659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (ℂfld e. Ring /\ ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` (ℂfld ↾s ZZ ) ) )
42	39, 24, 41	mp2an 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = (mulGrp ` (ℂfld ↾s ZZ ) )
43		eqid 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` Y ) = (mulGrp ` Y )
44	42, 43	rhmmhm 15825	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
45	23, 44	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) )
46	42, 26	mgpbas 15654	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
47		eqid 2436	. . . . . . . . . . 11 |- (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) = (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) )
48	46, 47, 34	mhmmulg 14922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) MndHom (mulGrp ` Y ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) )
49	45, 37, 29, 48	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) )
50	40	subrgsubm 15881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
51	24, 50	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) )
52		eqid 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) = (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
53		eqid 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ )
54	52, 53, 47	submmulg 14925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ZZ e. (SubMnd ` (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) )
55	51, 37, 29, 54	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) )
56	29	zcnd 10376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
57		cnfldexp 16734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
58	56, 37, 57	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` ℂfld ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
59	55, 58	eqtr3d 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) = ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
60	59	fveq2d 5732	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
61		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
62		prmnn 13082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
63	9, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. NN )
64		zexpcl 11396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
65	29, 37, 64	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
66		1z 10311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
68		moddvds 12859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
69	63, 65, 67, 68	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
70	61, 69	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) )
71	63	nnnn0d 10274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN0 )
72	10, 21	zndvds 16830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN0 /\ ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
73	71, 65, 67, 72	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) <-> P || ( ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) - 1 ) ) )
74	70, 73	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( A ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) = ( L ` 1 ) )
75		cnfld1 16726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
76	20, 75	subrg1 15878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) -> 1 = ( 1r ` (ℂfld ↾s ZZ ) ) )
77	24, 76	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` (ℂfld ↾s ZZ ) )
78		eqid 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
79	77, 78	rhm1 15831	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( (ℂfld ↾s ZZ ) RingHom Y ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
80	23, 79	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Y ) )
81	60, 74, 80	3eqtrd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ZZ ) ) A ) ) = ( 1r ` Y ) )
82	49, 81	eqtr3d 2470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) )
83	82	eqeq2d 2447	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) <-> ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
84	83	anbi2d 685	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) (.g ` (mulGrp ` Y ) ) ( L ` A ) ) ) <-> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) ) )
85	38, 84	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
86		eqid 2436	. . . . . . 7 |- (algSc ` S ) = (algSc ` S )
87	6, 78	rngidcl 15684	. . . . . . . 8 |- ( Y e. Ring -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
88	19, 87	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
89	4, 5, 6, 86, 7, 17, 88, 30	evl1scad 19951	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B /\ ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
90		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 |- .1. = ( 1r ` S )
91	5, 86, 78, 90	ply1scl1 16683	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. Ring -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
92	19, 91	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) = .1. )
93	92	eleq1d 2502	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B <-> .1. e. B ) )
94	92	fveq2d 5732	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) = ( O ` .1. ) )
95	94	fveq1d 5730	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) )
96	95	eqeq1d 2444	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) <-> ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
97	93, 96	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) e. B /\ ( ( O ` ( (algSc ` S ) ` ( 1r ` Y ) ) ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) <-> ( .1. e. B /\ ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) ) )
98	89, 97	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( .1. e. B /\ ( ( O ` .1. ) ` ( L ` A ) ) = ( 1r ` Y ) ) )
99		lgsqr.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` S )
100		eqid 2436	. . . . 5 |- ( -g ` Y ) = ( -g ` Y )
101	4, 5, 6, 7, 17, 30, 85, 98, 99, 100	evl1subd 19955	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) e. B /\ ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
102	101	simprd 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) .^ X ) .- .1. ) ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
103	3, 102	syl5eq 2480	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
104		rnggrp 15669	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> Y e. Grp )
105	19, 104	syl 16	. . 3 |- ( ph -> Y e. Grp )
106		eqid 2436	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
107	6, 106, 100	grpsubid 14873	. . 3 |- ( ( Y e. Grp /\ ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( 0g ` Y ) )
108	105, 88, 107	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( ( 1r ` Y ) ( -g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) = ( 0g ` Y ) )
109	103, 108	eqtrd 2468	1 |- ( ph -> ( ( O ` T ) ` ( L ` A ) ) = ( 0g ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1652   e. wcel 1725   \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991   - cmin 9291   / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   mod cmo 11250   ^cexp 11382   || cdivides 12852   Primecprime 13079   Basecbs 13469   ↾_s cress 13470   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688  ._gcmg 14689   MndHom cmhm 14736  SubMndcsubmnd 14737  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661   1rcur 15662   RingHom crh 15817  Fieldcfield 15836  SubRingcsubrg 15864  Domncdomn 16340  IDomncidom 16341  algSccascl 16371  var₁cv1 16570  Poly₁cpl1 16571  eval₁ce1 16573  ℂ_fldccnfld 16703   ZRHomczrh 16778  ℤ/nℤczn 16781   deg₁ cdg1 19977

This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  21126  lgsqrlem3  21127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-field 15838  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-domn 16344  df-idom 16345  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-vr1 16577  df-ply1 16578  df-evl1 16580  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785