MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Unicode version

Theorem lgsqrlem1 21078
Description: Lemma for lgsqr 21083. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqrlem1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqrlem1.4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
21fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( O `
 T )  =  ( O `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
32fveq1i 5688 . . 3  |-  ( ( O `  T ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)
4 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
5 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
6 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
7 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
98eldifad 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1110znfld 16796 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
129, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
13 fldidom 16320 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
15 isidom 16319 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
1615simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
18 crngrng 15629 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
20 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
21 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2220, 21zrhrhm 16748 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
2319, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
24 zsubrg 16707 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2520subrgbas 15832 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
2726, 6rhmf 15782 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y )
)
2823, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
29 lgsqrlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3028, 29ffvelrnd 5830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
31 lgsqr.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  Y )
324, 31, 6, 5, 7, 17, 30evl1vard 19906 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( ( O `  X ) `  ( L `  A )
)  =  ( L `
 A ) ) )
33 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
34 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (.g `  (mulGrp `  Y ) )  =  (.g `  (mulGrp `  Y
) )
35 oddprm 13144 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
368, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
3736nnnn0d 10230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
384, 5, 6, 7, 17, 30, 32, 33, 34, 37evl1expd 19911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) ) )
39 cnrng 16678 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  Ring
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4120, 40mgpress 15614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  ZZ  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp `  (flds  ZZ ) ) )
4239, 24, 41mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp `  (flds  ZZ ) )
43 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
4442, 43rhmmhm 15780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4523, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4642, 26mgpbas 15609 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
47 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
4846, 47, 34mhmmulg 14877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) )  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
4945, 37, 29, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
5040subrgsubm 15836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
5124, 50mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
52 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
53 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )
5452, 53, 47submmulg 14880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5551, 37, 29, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5629zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
57 cnfldexp 16689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5856, 37, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5955, 58eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A )  =  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
6059fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( L `
 ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
61 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
62 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
639, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
64 zexpcl 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
6529, 37, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
66 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
68 moddvds 12814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6963, 65, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P )  <-> 
P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  - 
1 ) ) )
7061, 69mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) )
7163nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
7210, 21zndvds 16785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
7371, 65, 67, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( L `
 1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
7470, 73mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 ) )
75 cnfld1 16681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 1r ` fld )
7620, 75subrg1 15833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  (flds  ZZ )
) )
7724, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r `  (flds  ZZ ) )
78 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
7977, 78rhm1 15786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Y ) )
8023, 79syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Y ) )
8160, 74, 803eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
8249, 81eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
8382eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) )  <-> 
( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
8483anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X ) ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) ) )  <->  ( (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B  /\  (
( O `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
) ) ) )
8538, 84mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
86 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
876, 78rngidcl 15639 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
8819, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
894, 5, 6, 86, 7, 17, 88, 30evl1scad 19904 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
90 lgsqr.u . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
915, 86, 78, 90ply1scl1 16638 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
9219, 91syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
9392eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  <->  .1.  e.  B ) )
9492fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( O `  .1.  ) )
9594fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A
) ) )
9695eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) ) ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y )  <->  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
9793, 96anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )  <-> 
(  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) ) )
9889, 97mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
99 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
100 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( -g `  Y )  =  (
-g `  Y )
1014, 5, 6, 7, 17, 30, 85, 98, 99, 100evl1subd 19908 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  .-  .1.  )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) ) )
102101simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
1033, 102syl5eq 2448 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
104 rnggrp 15624 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
10519, 104syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
106 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
1076, 106, 100grpsubid 14828 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( 1r `  Y
) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) )  =  ( 0g `  Y
) )
108105, 88, 107syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y ) ( 1r
`  Y ) )  =  ( 0g `  Y ) )
109103, 108eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238    mod cmo 11205   ^cexp 11337    || cdivides 12807   Primecprime 13034   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643  .gcmg 14644   MndHom cmhm 14691  SubMndcsubmnd 14692  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617   RingHom crh 15772  Fieldcfield 15791  SubRingcsubrg 15819  Domncdomn 16295  IDomncidom 16296  algSccascl 16326  var1cv1 16525  Poly1cpl1 16526  eval1ce1 16528  ℂfldccnfld 16658   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736   deg1 cdg1 19930
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  21079  lgsqrlem3  21080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-field 15793  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-nzr 16284  df-rlreg 16298  df-domn 16299  df-idom 16300  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-evl1 16535  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740
  Copyright terms: Public domain W3C validator