MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem1 21125
Description: Lemma for lgsqr 21130. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqrlem1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqrlem1.4  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
21fveq2i 5731 . . . 4  |-  ( O `
 T )  =  ( O `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
32fveq1i 5729 . . 3  |-  ( ( O `  T ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)
4 lgsqr.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  Y )
5 lgsqr.s . . . . 5  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
6 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
7 lgsqr.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
98eldifad 3332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
1110znfld 16841 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
129, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
13 fldidom 16365 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
15 isidom 16364 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
1615simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
1714, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
18 crngrng 15674 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
20 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
21 lgsqr.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
2220, 21zrhrhm 16793 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
2319, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
24 zsubrg 16752 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2520subrgbas 15877 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
2726, 6rhmf 15827 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y )
)
2823, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
29 lgsqrlem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3028, 29ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
31 lgsqr.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  Y )
324, 31, 6, 5, 7, 17, 30evl1vard 19953 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( ( O `  X ) `  ( L `  A )
)  =  ( L `
 A ) ) )
33 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
34 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (.g `  (mulGrp `  Y ) )  =  (.g `  (mulGrp `  Y
) )
35 oddprm 13189 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
368, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
3736nnnn0d 10274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
384, 5, 6, 7, 17, 30, 32, 33, 34, 37evl1expd 19958 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) ) )
39 cnrng 16723 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  Ring
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4120, 40mgpress 15659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  ZZ  e.  (SubRing ` fld ) )  ->  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp `  (flds  ZZ ) ) )
4239, 24, 41mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (mulGrp `  (flds  ZZ ) )
43 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
4442, 43rhmmhm 15825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4523, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) ) )
4642, 26mgpbas 15654 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
47 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) )
4846, 47, 34mhmmulg 14922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) MndHom  (mulGrp `  Y ) )  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
4945, 37, 29, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) ) )
5040subrgsubm 15881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
5124, 50mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
52 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
53 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ )  =  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ )
5452, 53, 47submmulg 14925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ZZ  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5551, 37, 29, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )
5629zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
57 cnfldexp 16734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5856, 37, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) A )  =  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
5955, 58eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A )  =  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
6059fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( L `
 ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ) )
61 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
62 prmnn 13082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
639, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
64 zexpcl 11396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
6529, 37, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
66 1z 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
68 moddvds 12859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
6963, 65, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  mod 
P )  =  ( 1  mod  P )  <-> 
P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  - 
1 ) ) )
7061, 69mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) )
7163nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
7210, 21zndvds 16830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
7371, 65, 67, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( L `
 1 )  <->  P  ||  (
( A ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  -  1 ) ) )
7470, 73mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  ( A ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( L ` 
1 ) )
75 cnfld1 16726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 1r ` fld )
7620, 75subrg1 15878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  (flds  ZZ )
) )
7724, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r `  (flds  ZZ ) )
78 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
7977, 78rhm1 15831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  ( L ` 
1 )  =  ( 1r `  Y ) )
8023, 79syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Y ) )
8160, 74, 803eqtrd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ZZ ) ) A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
8249, 81eqtr3d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )
8382eqeq2d 2447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) (.g `  (mulGrp `  Y
) ) ( L `
 A ) )  <-> 
( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
8483anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X ) ) `
 ( L `  A ) )  =  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 ) (.g `  (mulGrp `  Y ) ) ( L `  A ) ) )  <->  ( (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B  /\  (
( O `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r `  Y
) ) ) )
8538, 84mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) `  ( L `  A )
)  =  ( 1r
`  Y ) ) )
86 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
876, 78rngidcl 15684 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
8819, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
894, 5, 6, 86, 7, 17, 88, 30evl1scad 19951 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
90 lgsqr.u . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
915, 86, 78, 90ply1scl1 16683 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
9219, 91syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
9392eleq1d 2502 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  <->  .1.  e.  B ) )
9492fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( O `  .1.  ) )
9594fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A
) ) )
9695eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) ) ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y )  <->  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) ) )
9793, 96anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  e.  B  /\  (
( O `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) ) `  ( L `  A ) )  =  ( 1r
`  Y ) )  <-> 
(  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) ) )
9889, 97mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .1.  e.  B  /\  ( ( O `  .1.  ) `  ( L `
 A ) )  =  ( 1r `  Y ) ) )
99 lgsqr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  S )
100 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( -g `  Y )  =  (
-g `  Y )
1014, 5, 6, 7, 17, 30, 85, 98, 99, 100evl1subd 19955 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 ) 
.^  X )  .-  .1.  )  e.  B  /\  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) ) )
102101simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  ) ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
1033, 102syl5eq 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )
104 rnggrp 15669 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
10519, 104syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
106 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
1076, 106, 100grpsubid 14873 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
( 1r `  Y
) ( -g `  Y
) ( 1r `  Y ) )  =  ( 0g `  Y
) )
108105, 88, 107syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  Y ) ( -g `  Y ) ( 1r
`  Y ) )  =  ( 0g `  Y ) )
109103, 108eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282    mod cmo 11250   ^cexp 11382    || cdivides 12852   Primecprime 13079   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688  .gcmg 14689   MndHom cmhm 14736  SubMndcsubmnd 14737  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661   1rcur 15662   RingHom crh 15817  Fieldcfield 15836  SubRingcsubrg 15864  Domncdomn 16340  IDomncidom 16341  algSccascl 16371  var1cv1 16570  Poly1cpl1 16571  eval1ce1 16573  ℂfldccnfld 16703   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781   deg1 cdg1 19977
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  21126  lgsqrlem3  21127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-field 15838  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-nzr 16329  df-rlreg 16343  df-domn 16344  df-idom 16345  df-assa 16372  df-asp 16373  df-ascl 16374  df-psr 16417  df-mvr 16418  df-mpl 16419  df-evls 16420  df-evl 16421  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-vr1 16577  df-ply1 16578  df-evl1 16580  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785
  Copyright terms: Public domain W3C validator