MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem3 21119
Description: Lemma for lgsqr 21122. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Distinct variable groups:    y, O    y, P    ph, y    y, T   
y, L    y, Y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    D( y)    S( y)    .1. ( y)    .^ ( y)    G( y)    .- ( y)    X( y)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
21eldifad 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
43znfld 16833 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
52, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
6 fldidom 16357 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
8 isidom 16356 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
98simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
11 crngrng 15666 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
13 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
14 lgsqr.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1513, 14zrhrhm 16785 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
1612, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
17 zsubrg 16744 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
1813subrgbas 15869 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
20 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
2119, 20rhmf 15819 . . . 4  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y )
)
2216, 21syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y ) )
23 lgsqr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2422, 23ffvelrnd 5863 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Y ) )
25 lgsqr.s . . 3  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
26 lgsqr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
27 lgsqr.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
28 lgsqr.o . . 3  |-  O  =  (eval1 `  Y )
29 lgsqr.e . . 3  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
30 lgsqr.x . . 3  |-  X  =  (var1 `  Y )
31 lgsqr.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  S )
32 lgsqr.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
33 lgsqr.t . . 3  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
34 lgsvalmod 21091 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  / L P )  mod  P )  =  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
) )
3523, 1, 34syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L P )  mod  P
)  =  ( ( A ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P ) )
36 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
3736oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L P )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
3835, 37eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
( ( P  - 
1 )  /  2
) )  mod  P
)  =  ( 1  mod  P ) )
393, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 14, 1, 23, 38lgsqrlem1 21117 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) )
40 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )  =  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) )
41 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) )  =  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )
42 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4342a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  e.  _V )
4428, 25, 40, 20evl1rhm 19941 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  CRing  ->  O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4510, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( S RingHom 
( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4626, 41rhmf 15819 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( S RingHom  ( Y  ^s  ( Base `  Y
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
4825ply1rng 16634 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
4912, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
50 rnggrp 15661 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
5149, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
52 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
5352rngmgp 15662 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
5449, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
55 oddprm 13181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
561, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
5756nnnn0d 10266 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
5830, 25, 26vr1cl 16603 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
5912, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6052, 26mgpbas 15646 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
6160, 29mulgnn0cl 14898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
6254, 57, 59, 61syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
6326, 32rngidcl 15676 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
6449, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
6526, 31grpsubcl 14861 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6651, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
6733, 66syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
6847, 67ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  e.  ( Base `  ( Y  ^s  ( Base `  Y ) ) ) )
6940, 20, 41, 5, 43, 68pwselbas 13703 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  T
) : ( Base `  Y ) --> ( Base `  Y ) )
70 ffn 5583 . . . 4  |-  ( ( O `  T ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
)  ->  ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y ) )
7169, 70syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  T
)  Fn  ( Base `  Y ) )
72 fniniseg 5843 . . 3  |-  ( ( O `  T )  Fn  ( Base `  Y
)  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
( ( L `  A )  e.  (
Base `  Y )  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
7371, 72syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( L `  A )  e.  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  <->  ( ( L `  A )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( O `  T ) `  ( L `  A
) )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7424, 39, 73mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1c1 8983    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ...cfz 11035    mod cmo 11242   ^cexp 11374   Primecprime 13071   Basecbs 13461   ↾s cress 13462    ^s cpws 13662   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677   -gcsg 14680  .gcmg 14681  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   1rcur 15654   RingHom crh 15809  Fieldcfield 15828  SubRingcsubrg 15856  Domncdomn 16332  IDomncidom 16333  var1cv1 16562  Poly1cpl1 16563  eval1ce1 16565  ℂfldccnfld 16695   ZRHomczrh 16770  ℤ/nczn 16773   deg1 cdg1 19969    / Lclgs 21070
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  21120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-phi 13147  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-imas 13726  df-divs 13727  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-rnghom 15811  df-drng 15829  df-field 15830  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239  df-2idl 16295  df-nzr 16321  df-rlreg 16335  df-domn 16336  df-idom 16337  df-assa 16364  df-asp 16365  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-evls 16412  df-evl 16413  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-evl1 16572  df-cnfld 16696  df-zrh 16774  df-zn 16777  df-lgs 21071
  Copyright terms: Public domain W3C validator