MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Unicode version

Theorem lgsqrlem4 20599
Description: Lemma for lgsqr 20601. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    y, O    x, y, P    ph, x, y   
y, T    x, L, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    T( x)    .1. ( x, y)    .^ ( x, y)    G( y)    .- ( x, y)    O( x)    X( x, y)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
2 lgsqr.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
3 lgsqr.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 lgsqr.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
5 lgsqr.o . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  Y )
6 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
7 lgsqr.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  Y )
8 lgsqr.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  S )
9 lgsqr.u . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
10 lgsqr.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
11 lgsqr.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
13 lgsqr.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 20597 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
15 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O `
 T )  e. 
_V
1615cnvex 5225 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( O `  T )  e.  _V
17 imaexg 5042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( O `  T
)  e.  _V  ->  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
_V )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V
1918f1dom 6899 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
2014, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
23 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
2412, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
251znfld 16530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
27 fldidom 16062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
29 isidom 16061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
3029simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
3128, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
32 crngrng 15367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
342ply1rng 16342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
36 rnggrp 15362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
38 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
3938rngmgp 15363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
4035, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
41 oddprm 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4212, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4342nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
447, 2, 3vr1cl 16310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
4533, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4638, 3mgpbas 15347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
4746, 6mulgnn0cl 14599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
4840, 43, 45, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
493, 9rngidcl 15377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
5035, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
513, 8grpsubcl 14562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5237, 48, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5310, 52syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
5410fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D `
 T )  =  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
5542nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
56 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
582, 56, 57, 9ply1scl1 16383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5933, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
6059fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( D `  .1.  ) )
61 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
6261, 57rngidcl 15377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
6333, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
6429simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
65 domnnzr 16052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
6728, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  e. NzRing )
6857, 21nzrnz 16028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e. NzRing  ->  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  =/=  ( 0g
`  Y ) )
704, 2, 61, 56, 21deg1scl 19515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7133, 63, 69, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7260, 71eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  =  0 )
734, 2, 7, 38, 6deg1pw 19522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e. NzRing  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7467, 43, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7555, 72, 743brtr4d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  <  ( D `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) )
762, 4, 33, 3, 8, 48, 50, 75deg1sub 19510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7754, 76syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7877, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7978, 43eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  e.  NN0 )
804, 2, 22, 3deg1nn0clb 19492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  T  e.  B )  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8133, 53, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8279, 81mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =/=  ( 0g
`  S ) )
832, 3, 4, 5, 21, 22, 28, 53, 82fta1g 19569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( D `  T ) )
8483, 78breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
85 hashfz1 11361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
8643, 85syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
8784, 86breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
8818a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V )
89 hashbnd 11359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )  <_  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  e.  Fin )
9088, 43, 84, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin )
91 fzfid 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
92 hashdom 11377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9390, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9487, 93mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
95 sbth 6997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ~~  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
9620, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
97 f1finf1o 7102 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
Fin )  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  G :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9896, 90, 97syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
-1-1-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9914, 98mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
100 f1ocnv 5501 . . . . 5  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  `' G :
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
101 f1of 5488 . . . . 5  |-  ( `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  `' G : ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
10299, 100, 1013syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
103 lgsqr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
104 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
1051, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 103, 104lgsqrlem3 20598 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
106 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  ( L `  A )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )  ->  ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
107102, 105, 106syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
108 elfzelz 10814 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ )
109107, 108syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ )
110 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )
111110fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
112 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
113112fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
114113cbvmptv 4127 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( y ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
11513, 114eqtri 2316 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
x ^ 2 ) ) )
116 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
117111, 115, 116fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
118107, 117syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) ) )
119 f1ocnvfv2 5809 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  A ) )
12099, 105, 119syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 A ) )
121118, 120eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( L `
 A ) )
122 prmnn 12777 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12324, 122syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
124123nnnn0d 10034 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
125 zsqcl 11190 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ  ->  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
126109, 125syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1271, 11zndvds 16519 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
128124, 126, 103, 127syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
129121, 128mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
130110oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
( x ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
131130breq2d 4051 . . 3  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A )  <->  P  ||  (
( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
132131rspcev 2897 . 2  |-  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
133109, 129, 132syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   ^cexp 11120   #chash 11353    || cdivides 12547   Primecprime 12774   Basecbs 13164   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381  .gcmg 14382  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355  Fieldcfield 15529  NzRingcnzr 16025  Domncdomn 16037  IDomncidom 16038  algSccascl 16068  var1cv1 16267  Poly1cpl1 16268  eval1ce1 16270   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470   deg1 cdg1 19456    / Lclgs 20549
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  20600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-phi 12850  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-field 15531  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-nzr 16026  df-rlreg 16040  df-domn 16041  df-idom 16042  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-evls 16117  df-evl 16118  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-vr1 16274  df-ply1 16275  df-evl1 16277  df-coe1 16278  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-mdeg 19457  df-deg1 19458  df-mon1 19532  df-uc1p 19533  df-q1p 19534  df-r1p 19535  df-lgs 20550
  Copyright terms: Public domain W3C validator