MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Unicode version

Theorem lgsqrlem4 20583
Description: Lemma for lgsqr 20585. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    y, O    x, y, P    ph, x, y   
y, T    x, L, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    T( x)    .1. ( x, y)    .^ ( x, y)    G( y)    .- ( x, y)    O( x)    X( x, y)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
2 lgsqr.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
3 lgsqr.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 lgsqr.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
5 lgsqr.o . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  Y )
6 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
7 lgsqr.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  Y )
8 lgsqr.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  S )
9 lgsqr.u . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
10 lgsqr.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
11 lgsqr.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
13 lgsqr.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 20581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
15 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O `
 T )  e. 
_V
1615cnvex 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( O `  T )  e.  _V
17 imaexg 5026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( O `  T
)  e.  _V  ->  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
_V )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V
1918f1dom 6883 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
2014, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
23 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
2412, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
251znfld 16514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
27 fldidom 16046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
29 isidom 16045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
3029simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
3128, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
32 crngrng 15351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
342ply1rng 16326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
36 rnggrp 15346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
38 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
3938rngmgp 15347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
4035, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
41 oddprm 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4212, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4342nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
447, 2, 3vr1cl 16294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
4533, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4638, 3mgpbas 15331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
4746, 6mulgnn0cl 14583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
4840, 43, 45, 47syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
493, 9rngidcl 15361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
5035, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
513, 8grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5237, 48, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5310, 52syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
5410fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D `
 T )  =  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
5542nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
56 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
57 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
582, 56, 57, 9ply1scl1 16367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5933, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
6059fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( D `  .1.  ) )
61 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
6261, 57rngidcl 15361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
6333, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
6429simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
65 domnnzr 16036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
6728, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  e. NzRing )
6857, 21nzrnz 16012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e. NzRing  ->  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  =/=  ( 0g
`  Y ) )
704, 2, 61, 56, 21deg1scl 19499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7133, 63, 69, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7260, 71eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  =  0 )
734, 2, 7, 38, 6deg1pw 19506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e. NzRing  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7467, 43, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7555, 72, 743brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  <  ( D `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) )
762, 4, 33, 3, 8, 48, 50, 75deg1sub 19494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7754, 76syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7877, 74eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7978, 43eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  e.  NN0 )
804, 2, 22, 3deg1nn0clb 19476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  T  e.  B )  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8133, 53, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8279, 81mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =/=  ( 0g
`  S ) )
832, 3, 4, 5, 21, 22, 28, 53, 82fta1g 19553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( D `  T ) )
8483, 78breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
85 hashfz1 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
8643, 85syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
8784, 86breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
8818a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V )
89 hashbnd 11343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )  <_  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  e.  Fin )
9088, 43, 84, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin )
91 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
92 hashdom 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9390, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9487, 93mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
95 sbth 6981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ~~  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
9620, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
97 f1finf1o 7086 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
Fin )  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  G :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9896, 90, 97syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
-1-1-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9914, 98mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
100 f1ocnv 5485 . . . . 5  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  `' G :
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
101 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  `' G : ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
10299, 100, 1013syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
103 lgsqr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
104 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
1051, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 103, 104lgsqrlem3 20582 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
106 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  /\  ( L `  A )  e.  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )  ->  ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
107102, 105, 106syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
108 elfzelz 10798 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ )
109107, 108syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ )
110 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )
111110fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
112 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
113112fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
114113cbvmptv 4111 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( y ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
11513, 114eqtri 2303 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
x ^ 2 ) ) )
116 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
117111, 115, 116fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
118107, 117syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) ) )
119 f1ocnvfv2 5793 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  A ) )
12099, 105, 119syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 A ) )
121118, 120eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( L `
 A ) )
122 prmnn 12761 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12324, 122syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
124123nnnn0d 10018 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
125 zsqcl 11174 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ  ->  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
126109, 125syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1271, 11zndvds 16503 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
128124, 126, 103, 127syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
129121, 128mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
130110oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
( x ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
131130breq2d 4035 . . 3  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A )  <->  P  ||  (
( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
132131rspcev 2884 . 2  |-  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
133109, 129, 132syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782   ^cexp 11104   #chash 11337    || cdivides 12531   Primecprime 12758   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365  .gcmg 14366  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339  Fieldcfield 15513  NzRingcnzr 16009  Domncdomn 16021  IDomncidom 16022  algSccascl 16052  var1cv1 16251  Poly1cpl1 16252  eval1ce1 16254   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454   deg1 cdg1 19440    / Lclgs 20533
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  20584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-field 15515  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-nzr 16010  df-rlreg 16024  df-domn 16025  df-idom 16026  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-evl1 16261  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-mdeg 19441  df-deg1 19442  df-mon1 19516  df-uc1p 19517  df-q1p 19518  df-r1p 19519  df-lgs 20534
  Copyright terms: Public domain W3C validator