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Theorem lgsquad2lem1 21010
Description: Lemma for lgsquad2 21012. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
lgsquad2.2  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
lgsquad2.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgsquad2.4  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
lgsquad2.5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
lgsquad2lem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
lgsquad2lem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
lgsquad2lem1.m  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  M )
lgsquad2lem1.1  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
lgsquad2lem1.2  |-  ( ph  ->  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsquad2lem1  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad2lem1
StepHypRef Expression
1 lgsquad2lem1.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  M )
2 lgsquad2lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
32nnzd 10307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
43zcnd 10309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
6 npcan 9247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
8 lgsquad2lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
98nnzd 10307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
109zcnd 10309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 npcan 9247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
1210, 5, 11sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
137, 12oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A  x.  B ) )
14 peano2zm 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
153, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1615zcnd 10309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
18 peano2zm 10253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
199, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
2019zcnd 10309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  1 )  e.  CC )
2116, 17, 20, 17muladdd 9424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  x.  1 )  +  ( ( B  - 
1 )  x.  1 ) ) ) )
22 1t1e1 10059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  =  1 )
2423oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 ) )
2516mulid1d 9039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  1 )  =  ( A  -  1 ) )
2620mulid1d 9039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  x.  1 )  =  ( B  -  1 ) )
2725, 26oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  1 )  +  ( ( B  -  1 )  x.  1 ) )  =  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )
2824, 27oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  +  ( ( ( A  - 
1 )  x.  1 )  +  ( ( B  -  1 )  x.  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
3013, 29eqtr3d 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
311, 30eqtr3d 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
3231oveq1d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )  -  1 ) )
3316, 20mulcld 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC )
34 addcl 9006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
3533, 5, 34sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
3616, 20addcld 9041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) )  e.  CC )
3735, 36, 17addsubd 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  -  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
38 pncan 9244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) ) )
3933, 5, 38sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) ) )
4039oveq1d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  - 
1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
4132, 37, 403eqtrd 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
4241oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )  /  2 ) )
43 2cn 10003 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
45 2ne0 10016 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
4733, 36, 44, 46divdird 9761 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2 )  +  ( ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) )  / 
2 ) ) )
4816, 20, 44, 46divassd 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
4916, 44, 46divcan2d 9725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  -  1 )  /  2 ) )  =  ( A  -  1 ) )
5049oveq1d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( A  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
51 lgsquad2.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
52 dvdsmul1 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
533, 9, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
5453, 1breqtrd 4178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  ||  M )
55 2z 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
57 lgsquad2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5857nnzd 10307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
59 dvdstr 12811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 2  ||  A  /\  A  ||  M )  ->  2  ||  M
) )
6056, 3, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ||  A  /\  A  ||  M
)  ->  2  ||  M ) )
6154, 60mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  A  ->  2  ||  M ) )
6251, 61mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  A
)
63 1z 10244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
65 2prm 13023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  Prime
66 nprmdvds1 13039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
6765, 66mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  1
)
68 omoe 13114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  A
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( A  -  1 ) )
693, 62, 64, 67, 68syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  ||  ( A  -  1 ) )
70 dvdsval2 12783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( A  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( A  -  1 )  <-> 
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7156, 46, 15, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( A  -  1 )  <-> 
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7269, 71mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
7372zcnd 10309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
74 dvdsmul2 12800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  ||  ( A  x.  B ) )
753, 9, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  ||  ( A  x.  B ) )
7675, 1breqtrd 4178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  ||  M )
77 dvdstr 12811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 2  ||  B  /\  B  ||  M )  ->  2  ||  M
) )
7856, 9, 58, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ||  B  /\  B  ||  M
)  ->  2  ||  M ) )
7976, 78mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  B  ->  2  ||  M ) )
8051, 79mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  B
)
81 omoe 13114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  B
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( B  -  1 ) )
829, 80, 64, 67, 81syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  ||  ( B  -  1 ) )
83 dvdsval2 12783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( B  -  1 )  <-> 
( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8456, 46, 19, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( B  -  1 )  <-> 
( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8582, 84mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
8685zcnd 10309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
8744, 73, 86mulassd 9045 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( A  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8848, 50, 873eqtr2d 2426 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8916, 20, 44, 46divdird 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
9088, 89oveq12d 6039 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  / 
2 )  +  ( ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
9142, 47, 903eqtrd 2424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
9291oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )
9372, 85zmulcld 10314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
9456, 93zmulcld 10314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
9594zcnd 10309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
9672, 85zaddcld 10312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
9796zcnd 10309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
98 lgsquad2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9998nnzd 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
100 lgsquad2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
101 omoe 13114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
10299, 100, 64, 67, 101syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
103 peano2zm 10253 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
10499, 103syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
105 dvdsval2 12783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
10656, 46, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
107102, 106mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
108107zcnd 10309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
10995, 97, 108adddird 9047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
11093zcnd 10309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
11144, 110, 108mulassd 9045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
112111oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
11392, 109, 1123eqtrd 2424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
114113oveq2d 6037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
115 neg1cn 10000 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
116115a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
117 ax-1ne0 8993 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
1185, 117negne0i 9308 . . . . . 6  |-  -u 1  =/=  0
119118a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u 1  =/=  0
)
12093, 107zmulcld 10314 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
12156, 120zmulcld 10314 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
12296, 107zmulcld 10314 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
123 expaddz 11352 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
124116, 119, 121, 122, 123syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
125 expmulz 11354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
126116, 119, 56, 120, 125syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
127 sqneg 11370 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1285, 127ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
129 sq1 11404 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
130128, 129eqtri 2408 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
131130oveq1i 6031 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
132 1exp 11337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  1 )
133120, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  1 )
134131, 133syl5eq 2432 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  1 )
135126, 134eqtrd 2420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  1 )
136135oveq1d 6036 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
137124, 136eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
138116, 119, 122expclzd 11456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
139138mulid2d 9040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
14073, 86, 108adddird 9047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
141140oveq2d 6037 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
142139, 141eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
143114, 137, 1423eqtrd 2424 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
144 lgsquad2lem1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
145 lgsquad2lem1.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
146144, 145oveq12d 6039 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
14772, 107zmulcld 10314 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
14885, 107zmulcld 10314 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
149 expaddz 11352 . . . 4  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
150116, 119, 147, 148, 149syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  ( ( ( B  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
151146, 150eqtr4d 2423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
152 lgscl 20962 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
1533, 99, 152syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
154153zcnd 10309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  / L N )  e.  CC )
155 lgscl 20962 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( B  / L N )  e.  ZZ )
1569, 99, 155syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  / L N )  e.  ZZ )
157156zcnd 10309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  / L N )  e.  CC )
158 lgscl 20962 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  / L A )  e.  ZZ )
15999, 3, 158syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L A )  e.  ZZ )
160159zcnd 10309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  / L A )  e.  CC )
161 lgscl 20962 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  / L B )  e.  ZZ )
16299, 9, 161syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L B )  e.  ZZ )
163162zcnd 10309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  / L B )  e.  CC )
164154, 157, 160, 163mul4d 9211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  x.  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N
)  x.  ( N  / L B ) ) ) )
1652nnne0d 9977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1668nnne0d 9977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
167 lgsdir 20982 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )  ->  (
( A  x.  B
)  / L N
)  =  ( ( A  / L N
)  x.  ( B  / L N ) ) )
1683, 9, 99, 165, 166, 167syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  / L N )  =  ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) ) )
1691oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  / L N )  =  ( M  / L N
) )
170168, 169eqtr3d 2422 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  =  ( M  / L N ) )
171 lgsdi 20984 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )  ->  ( N  / L ( A  x.  B ) )  =  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )
17299, 3, 9, 165, 166, 171syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L
( A  x.  B
) )  =  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )
1731oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L
( A  x.  B
) )  =  ( N  / L M
) )
174172, 173eqtr3d 2422 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( N  / L M ) )
175170, 174oveq12d 6039 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  x.  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) ) )
176164, 175eqtr3d 2422 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) ) )
177143, 151, 1763eqtr2rd 2427 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    - cmin 9224   -ucneg 9225    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   ZZcz 10215   ^cexp 11310    || cdivides 12780    gcd cgcd 12934   Primecprime 13007    / Lclgs 20946
This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  21011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-dvds 12781  df-gcd 12935  df-prm 13008  df-phi 13083  df-pc 13139  df-lgs 20947
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