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Theorem lgsquad2lem1 20597
Description: Lemma for lgsquad2 20599. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
lgsquad2.2  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
lgsquad2.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgsquad2.4  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
lgsquad2.5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
lgsquad2lem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
lgsquad2lem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
lgsquad2lem1.m  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  M )
lgsquad2lem1.1  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
lgsquad2lem1.2  |-  ( ph  ->  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsquad2lem1  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad2lem1
StepHypRef Expression
1 lgsquad2lem1.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  M )
2 lgsquad2lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
32nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
43zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
6 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
74, 5, 6sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
8 lgsquad2lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
98nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
109zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
1210, 5, 11sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
137, 12oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A  x.  B ) )
14 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
153, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1615zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
175a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
18 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
199, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
2019zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  1 )  e.  CC )
2116, 17, 20, 17muladdd 9237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  x.  1 )  +  ( ( B  - 
1 )  x.  1 ) ) ) )
22 1t1e1 9870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2322a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  =  1 )
2423oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 ) )
2516mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  1 )  =  ( A  -  1 ) )
2620mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  x.  1 )  =  ( B  -  1 ) )
2725, 26oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  1 )  +  ( ( B  -  1 )  x.  1 ) )  =  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )
2824, 27oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  +  ( ( ( A  - 
1 )  x.  1 )  +  ( ( B  -  1 )  x.  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
3013, 29eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
311, 30eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
3231oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )  -  1 ) )
3316, 20mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC )
34 addcl 8819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
3533, 5, 34sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
3616, 20addcld 8854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) )  e.  CC )
3735, 36, 17addsubd 9178 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  -  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
38 pncan 9057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) ) )
3933, 5, 38sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) ) )
4039oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  - 
1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
4132, 37, 403eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
4241oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )  /  2 ) )
43 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4443a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
45 2ne0 9829 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
4645a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
4733, 36, 44, 46divdird 9574 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2 )  +  ( ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) )  / 
2 ) ) )
4816, 20, 44, 46divassd 9571 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
4916, 44, 46divcan2d 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  -  1 )  /  2 ) )  =  ( A  -  1 ) )
5049oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( A  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
51 lgsquad2.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
52 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
533, 9, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
5453, 1breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  ||  M )
55 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
5655a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
57 lgsquad2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5857nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
59 dvdstr 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 2  ||  A  /\  A  ||  M )  ->  2  ||  M
) )
6056, 3, 58, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ||  A  /\  A  ||  M
)  ->  2  ||  M ) )
6154, 60mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  A  ->  2  ||  M ) )
6251, 61mtod 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  A
)
63 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
65 2prm 12774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  Prime
66 nprmdvds1 12790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
6765, 66mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  1
)
68 omoe 12865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  A
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( A  -  1 ) )
693, 62, 64, 67, 68syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  ||  ( A  -  1 ) )
70 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( A  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( A  -  1 )  <-> 
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7156, 46, 15, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( A  -  1 )  <-> 
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7269, 71mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
7372zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
74 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  ||  ( A  x.  B ) )
753, 9, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  ||  ( A  x.  B ) )
7675, 1breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  ||  M )
77 dvdstr 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 2  ||  B  /\  B  ||  M )  ->  2  ||  M
) )
7856, 9, 58, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ||  B  /\  B  ||  M
)  ->  2  ||  M ) )
7976, 78mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  B  ->  2  ||  M ) )
8051, 79mtod 168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  B
)
81 omoe 12865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  B
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( B  -  1 ) )
829, 80, 64, 67, 81syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  ||  ( B  -  1 ) )
83 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( B  -  1 )  <-> 
( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8456, 46, 19, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( B  -  1 )  <-> 
( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8582, 84mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
8685zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
8744, 73, 86mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( A  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8848, 50, 873eqtr2d 2321 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8916, 20, 44, 46divdird 9574 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
9088, 89oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  / 
2 )  +  ( ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
9142, 47, 903eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
9291oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )
9372, 85zmulcld 10123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
9456, 93zmulcld 10123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
9594zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
9672, 85zaddcld 10121 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
9796zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
98 lgsquad2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9998nnzd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
100 lgsquad2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
101 omoe 12865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
10299, 100, 64, 67, 101syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
103 peano2zm 10062 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
10499, 103syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
105 dvdsval2 12534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
10656, 46, 104, 105syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
107102, 106mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
108107zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
10995, 97, 108adddird 8860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
11093zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
11144, 110, 108mulassd 8858 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
112111oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
11392, 109, 1123eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
114113oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
115 neg1cn 9813 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
116115a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
117 ax-1ne0 8806 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
1185, 117negne0i 9121 . . . . . 6  |-  -u 1  =/=  0
119118a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u 1  =/=  0
)
12093, 107zmulcld 10123 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
12156, 120zmulcld 10123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
12296, 107zmulcld 10123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
123 expaddz 11146 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
124116, 119, 121, 122, 123syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
125 expmulz 11148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
126116, 119, 56, 120, 125syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
127 sqneg 11164 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1285, 127ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
129 sq1 11198 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
130128, 129eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
131130oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
132 1exp 11131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  1 )
133120, 132syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  1 )
134131, 133syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  1 )
135126, 134eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  1 )
136135oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
137124, 136eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
138116, 119, 122expclzd 11250 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
139138mulid2d 8853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
14073, 86, 108adddird 8860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
141140oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
142139, 141eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
143114, 137, 1423eqtrd 2319 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
144 lgsquad2lem1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
145 lgsquad2lem1.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
146144, 145oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
14772, 107zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
14885, 107zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
149 expaddz 11146 . . . 4  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
150116, 119, 147, 148, 149syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  ( ( ( B  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
151146, 150eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
152 lgscl 20549 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
1533, 99, 152syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
154153zcnd 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  / L N )  e.  CC )
155 lgscl 20549 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( B  / L N )  e.  ZZ )
1569, 99, 155syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  / L N )  e.  ZZ )
157156zcnd 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  / L N )  e.  CC )
158 lgscl 20549 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  / L A )  e.  ZZ )
15999, 3, 158syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L A )  e.  ZZ )
160159zcnd 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  / L A )  e.  CC )
161 lgscl 20549 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  / L B )  e.  ZZ )
16299, 9, 161syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L B )  e.  ZZ )
163162zcnd 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  / L B )  e.  CC )
164154, 157, 160, 163mul4d 9024 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  x.  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N
)  x.  ( N  / L B ) ) ) )
1652nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1668nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
167 lgsdir 20569 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )  ->  (
( A  x.  B
)  / L N
)  =  ( ( A  / L N
)  x.  ( B  / L N ) ) )
1683, 9, 99, 165, 166, 167syl32anc 1190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  / L N )  =  ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) ) )
1691oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  / L N )  =  ( M  / L N
) )
170168, 169eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  =  ( M  / L N ) )
171 lgsdi 20571 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )  ->  ( N  / L ( A  x.  B ) )  =  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )
17299, 3, 9, 165, 166, 171syl32anc 1190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L
( A  x.  B
) )  =  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )
1731oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L
( A  x.  B
) )  =  ( N  / L M
) )
174172, 173eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( N  / L M ) )
175170, 174oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  x.  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) ) )
176164, 175eqtr3d 2317 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) ) )
177143, 151, 1763eqtr2rd 2322 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ^cexp 11104    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Primecprime 12758    / Lclgs 20533
This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  20598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-lgs 20534
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