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Theorem lgsquad2lem1 21134
Description: Lemma for lgsquad2 21136. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
lgsquad2.2  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
lgsquad2.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgsquad2.4  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
lgsquad2.5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
lgsquad2lem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
lgsquad2lem1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
lgsquad2lem1.m  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  M )
lgsquad2lem1.1  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
lgsquad2lem1.2  |-  ( ph  ->  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsquad2lem1  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )

Proof of Theorem lgsquad2lem1
StepHypRef Expression
1 lgsquad2lem1.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  M )
2 lgsquad2lem1.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
32nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
43zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
6 npcan 9306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
8 lgsquad2lem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
98nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
109zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 npcan 9306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
1210, 5, 11sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  +  1 )  =  B )
137, 12oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A  x.  B ) )
14 peano2zm 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
153, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
1615zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
18 peano2zm 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
199, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
2019zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  1 )  e.  CC )
2116, 17, 20, 17muladdd 9483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  x.  1 )  +  ( ( B  - 
1 )  x.  1 ) ) ) )
22 1t1e1 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  1 )  =  1 )
2423oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 ) )
2516mulid1d 9097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  1 )  =  ( A  -  1 ) )
2620mulid1d 9097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  x.  1 )  =  ( B  -  1 ) )
2725, 26oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  1 )  +  ( ( B  -  1 )  x.  1 ) )  =  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )
2824, 27oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  ( 1  x.  1 ) )  +  ( ( ( A  - 
1 )  x.  1 )  +  ( ( B  -  1 )  x.  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  1 )  x.  (
( B  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
3013, 29eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
311, 30eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
3231oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )  -  1 ) )
3316, 20mulcld 9100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC )
34 addcl 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
3533, 5, 34sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
3616, 20addcld 9099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) )  e.  CC )
3735, 36, 17addsubd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  +  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  -  1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
38 pncan 9303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) ) )
3933, 5, 38sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) ) )
4039oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  1 )  - 
1 )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
4132, 37, 403eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) ) ) )
4241oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  +  ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) ) )  /  2 ) )
43 2cn 10062 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
45 2ne0 10075 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
4733, 36, 44, 46divdird 9820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  +  ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2 )  +  ( ( ( A  -  1 )  +  ( B  - 
1 ) )  / 
2 ) ) )
4816, 20, 44, 46divassd 9817 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
4916, 44, 46divcan2d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A  -  1 )  /  2 ) )  =  ( A  -  1 ) )
5049oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( A  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( A  -  1 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
51 lgsquad2.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
52 dvdsmul1 12863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
533, 9, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
5453, 1breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  ||  M )
55 2z 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
57 lgsquad2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
5857nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
59 dvdstr 12875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 2  ||  A  /\  A  ||  M )  ->  2  ||  M
) )
6056, 3, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ||  A  /\  A  ||  M
)  ->  2  ||  M ) )
6154, 60mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  A  ->  2  ||  M ) )
6251, 61mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  A
)
63 1z 10303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
65 2prm 13087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  Prime
66 nprmdvds1 13103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
6765, 66mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  1
)
68 omoe 13178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  A
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( A  -  1 ) )
693, 62, 64, 67, 68syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  ||  ( A  -  1 ) )
70 dvdsval2 12847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( A  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( A  -  1 )  <-> 
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7156, 46, 15, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( A  -  1 )  <-> 
( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7269, 71mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
7372zcnd 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
74 dvdsmul2 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  ||  ( A  x.  B ) )
753, 9, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  ||  ( A  x.  B ) )
7675, 1breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  ||  M )
77 dvdstr 12875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 2  ||  B  /\  B  ||  M )  ->  2  ||  M
) )
7856, 9, 58, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ||  B  /\  B  ||  M
)  ->  2  ||  M ) )
7976, 78mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  B  ->  2  ||  M ) )
8051, 79mtod 170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  B
)
81 omoe 13178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  B
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( B  -  1 ) )
829, 80, 64, 67, 81syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  ||  ( B  -  1 ) )
83 dvdsval2 12847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( B  -  1 )  <-> 
( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8456, 46, 19, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( B  -  1 )  <-> 
( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8582, 84mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
8685zcnd 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
8744, 73, 86mulassd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( A  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8848, 50, 873eqtr2d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8916, 20, 44, 46divdird 9820 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  +  ( B  -  1 ) )  /  2
)  =  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )
9088, 89oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  x.  ( B  - 
1 ) )  / 
2 )  +  ( ( ( A  - 
1 )  +  ( B  -  1 ) )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
9142, 47, 903eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) ) )
9291oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )
9372, 85zmulcld 10373 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
9456, 93zmulcld 10373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
9594zcnd 10368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
9672, 85zaddcld 10371 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
9796zcnd 10368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
98 lgsquad2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9998nnzd 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
100 lgsquad2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
101 omoe 13178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
10299, 100, 64, 67, 101syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
103 peano2zm 10312 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
10499, 103syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
105 dvdsval2 12847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
10656, 46, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
107102, 106mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
108107zcnd 10368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
10995, 97, 108adddird 9105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) )  +  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
11093zcnd 10368 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
11144, 110, 108mulassd 9103 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
112111oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
11392, 109, 1123eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
114113oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
115 neg1cn 10059 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
116115a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
117 ax-1ne0 9051 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
1185, 117negne0i 9367 . . . . . 6  |-  -u 1  =/=  0
119118a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u 1  =/=  0
)
12093, 107zmulcld 10373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
12156, 120zmulcld 10373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
12296, 107zmulcld 10373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
123 expaddz 11416 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
124116, 119, 121, 122, 123syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
125 expmulz 11418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
126116, 119, 56, 120, 125syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
127 sqneg 11434 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
1285, 127ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
129 sq1 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
130128, 129eqtri 2455 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
131130oveq1i 6083 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
132 1exp 11401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  1 )
133120, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  1 )
134131, 133syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  1 )
135126, 134eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  1 )
136135oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
137124, 136eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( 2  x.  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  +  ( ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
138116, 119, 122expclzd 11520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
139138mulid2d 9098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
14073, 86, 108adddird 9105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
141140oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  +  ( ( B  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
142139, 141eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  +  ( ( B  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( A  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
143114, 137, 1423eqtrd 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
144 lgsquad2lem1.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
145 lgsquad2lem1.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
146144, 145oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
14772, 107zmulcld 10373 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
14885, 107zmulcld 10373 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
149 expaddz 11416 . . . 4  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
150116, 119, 147, 148, 149syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( ( A  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )  +  ( ( ( B  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
151146, 150eqtr4d 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( ( ( A  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  ( ( ( B  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
152 lgscl 21086 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
1533, 99, 152syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
154153zcnd 10368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  / L N )  e.  CC )
155 lgscl 21086 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( B  / L N )  e.  ZZ )
1569, 99, 155syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  / L N )  e.  ZZ )
157156zcnd 10368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  / L N )  e.  CC )
158 lgscl 21086 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  / L A )  e.  ZZ )
15999, 3, 158syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L A )  e.  ZZ )
160159zcnd 10368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  / L A )  e.  CC )
161 lgscl 21086 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  / L B )  e.  ZZ )
16299, 9, 161syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L B )  e.  ZZ )
163162zcnd 10368 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  / L B )  e.  CC )
164154, 157, 160, 163mul4d 9270 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  x.  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N
)  x.  ( N  / L B ) ) ) )
1652nnne0d 10036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
1668nnne0d 10036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
167 lgsdir 21106 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )  ->  (
( A  x.  B
)  / L N
)  =  ( ( A  / L N
)  x.  ( B  / L N ) ) )
1683, 9, 99, 165, 166, 167syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  / L N )  =  ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) ) )
1691oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  / L N )  =  ( M  / L N
) )
170168, 169eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  =  ( M  / L N ) )
171 lgsdi 21108 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )  ->  ( N  / L ( A  x.  B ) )  =  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )
17299, 3, 9, 165, 166, 171syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L
( A  x.  B
) )  =  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )
1731oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  / L
( A  x.  B
) )  =  ( N  / L M
) )
174172, 173eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) )  =  ( N  / L M ) )
175170, 174oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( B  / L N ) )  x.  ( ( N  / L A )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) ) )
176164, 175eqtr3d 2469 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  / L N )  x.  ( N  / L A ) )  x.  ( ( B  / L N )  x.  ( N  / L B ) ) )  =  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) ) )
177143, 151, 1763eqtr2rd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   ^cexp 11374    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998   Primecprime 13071    / Lclgs 21070
This theorem is referenced by:  lgsquad2lem2  21135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-phi 13147  df-pc 13203  df-lgs 21071
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