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Theorem lgsquad2lem2 21133
Description: Lemma for lgsquad2 21134. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsquad2.1  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
lgsquad2.2  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
lgsquad2.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
lgsquad2.4  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
lgsquad2.5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
lgsquad2lem2.f  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
m  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
lgsquad2lem2.s  |-  ( ps  <->  A. x  e.  ( 1 ... k ) ( ( x  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  -> 
( ( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lgsquad2lem2  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, M    x, m, N    ph, m, x
Allowed substitution hints:    ph( k)    ps( x, k, m)    M( x, k)    N( k)

Proof of Theorem lgsquad2lem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgsquad2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 2nn 10123 . . . . 5  |-  2  e.  NN
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
4 lgsquad2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
51nnzd 10364 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 2z 10302 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
7 gcdcom 13010 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  2
)  =  ( 2  gcd  M ) )
85, 6, 7sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  2
)  =  ( 2  gcd  M ) )
9 lgsquad2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  M
)
10 2prm 13085 . . . . . . 7  |-  2  e.  Prime
11 coprm 13090 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  2  ||  M  <->  ( 2  gcd  M )  =  1 ) )
1210, 5, 11sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  2  ||  M 
<->  ( 2  gcd  M
)  =  1 ) )
139, 12mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  gcd  M
)  =  1 )
148, 13eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  2
)  =  1 )
15 rpmulgcd 13045 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M  gcd  2
)  =  1 )  ->  ( M  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  ( M  gcd  N ) )
161, 3, 4, 14, 15syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
2  x.  N ) )  =  ( M  gcd  N ) )
17 lgsquad2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  N
)  =  1 )
1816, 17eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1 )
19 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (
m  / L N
)  =  ( 1  / L N ) )
20 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  ( N  / L m )  =  ( N  / L 1 ) )
2119, 20oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( ( 1  / L N
)  x.  ( N  / L 1 ) ) )
22 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
23 1m1e0 10058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2422, 23syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
2524oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  (
( m  -  1 )  /  2 )  =  ( 0  / 
2 ) )
26 2cn 10060 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
27 2ne0 10073 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
2826, 27div0i 9738 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  /  2 )  =  0
2925, 28syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
( m  -  1 )  /  2 )  =  0 )
3029oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( m  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( 0  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
3130oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( 0  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
3221, 31eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( 1  / L N )  x.  ( N  / L 1 ) )  =  ( -u
1 ^ ( 0  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
3332imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )  <-> 
( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( 1  / L N )  x.  ( N  / L 1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 0  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )
3433imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( 1  / L N )  x.  ( N  / L 1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 0  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) ) )
35 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( m  =  x  ->  (
m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  ( x  gcd  ( 2  x.  N
) ) )
3635eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( m  =  x  ->  (
( m  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  <->  (
x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 ) )
37 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  x  ->  (
m  / L N
)  =  ( x  / L N ) )
38 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  x  ->  ( N  / L m )  =  ( N  / L x ) )
3937, 38oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  x  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( ( x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) ) )
40 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  x  ->  (
m  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
4140oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  x  ->  (
( m  -  1 )  /  2 )  =  ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )
4241oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  x  ->  (
( ( m  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
4342oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( m  =  x  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
4439, 43eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( m  =  x  ->  (
( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
4536, 44imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  x  ->  (
( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )  <-> 
( ( x  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )
4645imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  x  ->  (
( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) ) )
47 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  (
m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  ( y  gcd  ( 2  x.  N
) ) )
4847eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  <->  (
y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 ) )
49 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  (
m  / L N
)  =  ( y  / L N ) )
50 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  ( N  / L m )  =  ( N  / L y ) )
5149, 50oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( ( y  / L N
)  x.  ( N  / L y ) ) )
52 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  (
m  -  1 )  =  ( y  - 
1 ) )
5352oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  -  1 )  /  2 )  =  ( ( y  -  1 )  / 
2 ) )
5453oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  (
( ( m  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
5554oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
5651, 55eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( m  =  y  ->  (
( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
5748, 56imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  y  ->  (
( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )  <-> 
( ( y  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )
5857imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  y  ->  (
( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) ) )
59 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( x  x.  y )  gcd  ( 2  x.  N
) ) )
6059eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
( m  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  <->  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 ) )
61 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
m  / L N
)  =  ( ( x  x.  y )  / L N ) )
62 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  ( N  / L m )  =  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )
6361, 62oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( ( ( x  x.  y
)  / L N
)  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) ) )
64 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( x  x.  y )  - 
1 ) )
6564oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
( m  -  1 )  /  2 )  =  ( ( ( x  x.  y )  -  1 )  / 
2 ) )
6665oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
( ( m  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( x  x.  y
)  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
6766oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( ( x  x.  y
)  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
6863, 67eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( x  x.  y )  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
6960, 68imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )  <-> 
( ( ( x  x.  y )  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( ( x  x.  y
)  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )
7069imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  ( x  x.  y )  ->  (
( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( x  x.  y )  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( ( x  x.  y
)  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) ) )
71 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  ( M  gcd  ( 2  x.  N
) ) )
7271eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( m  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  <->  ( M  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 ) )
73 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
m  / L N
)  =  ( M  / L N ) )
74 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( N  / L m )  =  ( N  / L M ) )
7573, 74oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( ( M  / L N
)  x.  ( N  / L M ) ) )
76 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
m  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
7776oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( m  -  1 )  /  2 )  =  ( ( M  -  1 )  / 
2 ) )
7877oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( m  - 
1 )  /  2
)  x.  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
7978oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
8075, 79eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
8172, 80imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )  <-> 
( ( M  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
8281imbi2d 308 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( M  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
83 1t1e1 10116 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
84 neg1cn 10057 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
85 exp0 11376 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
8684, 85ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
8783, 86eqtr4i 2458 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  ( -u 1 ^ 0 )
88 sq1 11466 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8988oveq1i 6083 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ^ 2 )  / L N )  =  ( 1  / L N )
90 1nn 10001 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
9190a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
924nnzd 10364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
93 1gcd 13027 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  gcd  N )  =  1 )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  gcd  N
)  =  1 )
95 lgssq 21109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  N  e.  ZZ  /\  (
1  gcd  N )  =  1 )  -> 
( ( 1 ^ 2 )  / L N )  =  1 )
9691, 92, 94, 95syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ^ 2 )  / L N )  =  1 )
9789, 96syl5eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  / L N )  =  1 )
9888oveq2i 6084 . . . . . . . 8  |-  ( N  / L ( 1 ^ 2 ) )  =  ( N  / L 1 )
99 gcd1 13022 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  1 )  =  1 )
10092, 99syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  1
)  =  1 )
101 lgssq2 21110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  NN  /\  ( N  gcd  1 )  =  1 )  ->  ( N  / L ( 1 ^ 2 ) )  =  1 )
10292, 91, 100, 101syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  / L
( 1 ^ 2 ) )  =  1 )
10398, 102syl5eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  / L
1 )  =  1 )
10497, 103oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / L N )  x.  ( N  / L 1 ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
105 nnm1nn0 10251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1064, 105syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
107106nn0cnd 10266 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
108107halfcld 10202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
109108mul02d 9254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) )  =  0 )
110109oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( 0  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )  =  (
-u 1 ^ 0 ) )
11187, 104, 1103eqtr4a 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / L N )  x.  ( N  / L 1 ) )  =  ( -u
1 ^ ( 0  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
112111a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( 1  / L N )  x.  ( N  / L 1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 0  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
113 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  m  e.  Prime )
114 prmz 13073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  Prime  ->  m  e.  ZZ )
115114ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
1166a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  2  e.  ZZ )
1174adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  N  e.  NN )
118117nnzd 10364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
119 zmulcl 10314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
1206, 118, 119sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
121 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )
122 dvdsmul1 12861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  N ) )
1236, 118, 122sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  2  ||  ( 2  x.  N
) )
124 rpdvds 13114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )  /\  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  /\  2  ||  ( 2  x.  N
) ) )  -> 
( m  gcd  2
)  =  1 )
125115, 116, 120, 121, 123, 124syl32anc 1192 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
m  gcd  2 )  =  1 )
126 prmrp 13091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( m  gcd  2
)  =  1  <->  m  =/=  2 ) )
127113, 10, 126sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
( m  gcd  2
)  =  1  <->  m  =/=  2 ) )
128125, 127mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  m  =/=  2 )
129 eldifsn 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( m  e.  Prime  /\  m  =/=  2 ) )
130113, 128, 129sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  m  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
131 prmnn 13072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  Prime  ->  m  e.  NN )
132131ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  m  e.  NN )
1332a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  2  e.  NN )
134 rpmulgcd 13045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( m  gcd  2
)  =  1 )  ->  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  ( m  gcd  N ) )
135132, 133, 117, 125, 134syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
m  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  ( m  gcd  N ) )
136135, 121eqtr3d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
m  gcd  N )  =  1 )
137130, 136jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
m  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( m  gcd  N )  =  1 ) )
138 lgsquad2lem2.f . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
m  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
139137, 138syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  Prime  /\  ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 ) )  ->  (
( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
140139exp32 589 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( m  e.  Prime  -> 
( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )
141140com12 29 . . . 4  |-  ( m  e.  Prime  ->  ( ph  ->  ( ( m  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( m  / L N )  x.  ( N  / L m ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( m  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )
142 jcab 834 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )  <->  ( ( ph  ->  ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  /\  ( ph  ->  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
y  / L N
)  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
143 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  x  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
144 eluz2b2 10538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( x  e.  NN  /\  1  < 
x ) )
145144simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  NN )
146143, 145syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  x  e.  NN )
147 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
148 eluz2b2 10538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( y  e.  NN  /\  1  < 
y ) )
149148simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  NN )
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  y  e.  NN )
151146, 150nnmulcld 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  NN )
152 nprmdvds1 13101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
15310, 152ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  2  ||  1
15492ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
1556, 154, 122sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
2  ||  ( 2  x.  N ) )
1566a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
2  e.  ZZ )
157 eluzelz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  x  e.  ZZ )
158 eluzelz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  ZZ )
159157, 158anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )
160159ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )
161 zmulcl 10314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
162160, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( x  x.  y
)  e.  ZZ )
1636, 154, 119sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
164 dvdsgcd 13033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( x  x.  y
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2 
||  ( x  x.  y )  /\  2  ||  ( 2  x.  N
) )  ->  2  ||  ( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) ) ) )
165156, 162, 163, 164syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( ( 2  ||  ( x  x.  y
)  /\  2  ||  ( 2  x.  N
) )  ->  2  ||  ( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) ) ) )
166155, 165mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( 2  ||  (
x  x.  y )  ->  2  ||  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) ) ) )
167 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1 )
168167breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( 2  ||  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  <->  2  ||  1 ) )
169166, 168sylibd 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( 2  ||  (
x  x.  y )  ->  2  ||  1
) )
170153, 169mtoi 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  ->  -.  2  ||  ( x  x.  y ) )
171170adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  -.  2  ||  ( x  x.  y
) )
1724ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
173 lgsquad2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  N
)
174173ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  -.  2  ||  N )
175 dvdsmul2 12862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( 2  x.  N ) )
1766, 154, 175sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  ->  N  ||  ( 2  x.  N ) )
177 rpdvds 13114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  x.  y )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )  /\  ( ( ( x  x.  y )  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  /\  N  ||  ( 2  x.  N
) ) )  -> 
( ( x  x.  y )  gcd  N
)  =  1 )
178162, 154, 163, 167, 176, 177syl32anc 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( ( x  x.  y )  gcd  N
)  =  1 )
179178adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( x  x.  y )  gcd 
N )  =  1 )
180 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( x  x.  y )  =  ( x  x.  y ) )
181160simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  ->  x  e.  ZZ )
182 gcdcom 13010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( x  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  N
)  gcd  x )
)
183181, 163, 182syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( x  gcd  (
2  x.  N ) )  =  ( ( 2  x.  N )  gcd  x ) )
184 gcdcom 13010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  gcd  ( x  x.  y
) )  =  ( ( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) ) )
185163, 162, 184syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( ( 2  x.  N )  gcd  (
x  x.  y ) )  =  ( ( x  x.  y )  gcd  ( 2  x.  N ) ) )
186185, 167eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( ( 2  x.  N )  gcd  (
x  x.  y ) )  =  1 )
187 dvdsmul1 12861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  ||  ( x  x.  y ) )
188160, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  ->  x  ||  ( x  x.  y ) )
189 rpdvds 13114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )  /\  ( ( ( 2  x.  N )  gcd  ( x  x.  y ) )  =  1  /\  x  ||  ( x  x.  y
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  gcd  x
)  =  1 )
190163, 181, 162, 186, 188, 189syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( ( 2  x.  N )  gcd  x
)  =  1 )
191183, 190eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( x  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1 )
192191adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( x  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 )
193 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
194192, 193mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
195160simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
y  e.  ZZ )
196 gcdcom 13010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( y  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  N
)  gcd  y )
)
197195, 163, 196syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( y  gcd  (
2  x.  N ) )  =  ( ( 2  x.  N )  gcd  y ) )
198 dvdsmul2 12862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  ||  ( x  x.  y ) )
199160, 198syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
y  ||  ( x  x.  y ) )
200 rpdvds 13114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )  /\  ( ( ( 2  x.  N )  gcd  ( x  x.  y ) )  =  1  /\  y  ||  ( x  x.  y
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  gcd  y
)  =  1 )
201163, 195, 162, 186, 199, 200syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( ( 2  x.  N )  gcd  y
)  =  1 )
202197, 201eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1 )  -> 
( y  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1 )
203202adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( y  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1 )
204 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
y  / L N
)  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )
205203, 204mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
206151, 171, 172, 174, 179, 146, 150, 180, 194, 205lgsquad2lem1 21132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  /\  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  /\  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( ( x  x.  y
)  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )
207206exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  y  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )  ->  ( (
( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
x  / L N
)  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( x  x.  y )  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
208207com23 74 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  y  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )  ->  ( (
( ( x  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
y  / L N
)  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  -> 
( ( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( x  x.  y )  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
209208expcom 425 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ph  ->  ( ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  x.  y )  gcd  (
2  x.  N ) )  =  1  -> 
( ( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( x  x.  y )  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
210209a2d 24 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ph  ->  ( ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  /\  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( y  / L N )  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( ( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( x  x.  y )  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
211142, 210syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( ph  ->  ( ( x  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( x  / L N )  x.  ( N  / L x ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( x  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  /\  ( ph  ->  ( ( y  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( (
y  / L N
)  x.  ( N  / L y ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( y  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( ( x  x.  y
)  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  (
( ( x  x.  y )  / L N )  x.  ( N  / L ( x  x.  y ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( ( x  x.  y )  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
21234, 46, 58, 70, 82, 112, 141, 211prmind 13081 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( M  gcd  ( 2  x.  N ) )  =  1  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
2131, 212mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  gcd  ( 2  x.  N
) )  =  1  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( ( M  -  1 )  / 
2 )  x.  (
( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
21418, 213mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( ( M  / L N )  x.  ( N  / L M ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( M  -  1 )  /  2 )  x.  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309   {csn 3806   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985    < clt 9110    - cmin 9281   -ucneg 9282    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   ...cfz 11033   ^cexp 11372    || cdivides 12842    gcd cgcd 12996   Primecprime 13069    / Lclgs 21068
This theorem is referenced by:  lgsquad2  21134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-phi 13145  df-pc 13201  df-lgs 21069
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