MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquadlem2 Unicode version

Theorem lgsquadlem2 20610
Description: Lemma for lgsquad 20612. Count the members of  S with even coordinates, and combine with lgsquadlem1 20609 to get the total count of lattice points in  S (up to parity). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgsquad.4  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.5  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.6  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem2  |-  ( ph  ->  ( Q  / L P )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, P    ph, x, y    y, M    x, N, y    x, Q, y    x, S    x, M    y, S

Proof of Theorem lgsquadlem2
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.1 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 lgseisen.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 lgseisen.3 . . 3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
41, 2, 3lgseisen 20608 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  / L P )  =  (
-u 1 ^ sum_ u  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ( |_
`  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )
5 lgsquad.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
65oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )
76sumeq1i 12187 . . . 4  |-  sum_ u  e.  ( 1 ... M
) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) )  =  sum_ u  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) ( |_
`  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) )
8 oddprm 12884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
91, 8syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
105, 9syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1211rehalfcld 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
1312flcld 10946 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )
1413zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
1514ltp1d 9703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  <  ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) )
16 fzdisj 10833 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  <  ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) )  =  (/) )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) )  =  (/) )
1810nnrpd 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
1918rphalfcld 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR+ )
2019rpge0d 10410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  /  2 ) )
21 flge0nn0 10964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( M  / 
2 ) )  -> 
( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  NN0 )
2212, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  NN0 )
2310nnnn0d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
24 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR+  ->  ( M  /  2 )  < 
M )
2518, 24syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  <  M )
2610nnzd 10132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
27 fllt 10954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  /  2
)  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  / 
2 )  <  M  <->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  <  M ) )
2812, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  <  M  <->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  <  M ) )
2925, 28mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  <  M )
3014, 11, 29ltled 8983 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  <_  M )
31 elfz2nn0 10837 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( ( |_ `  ( M  / 
2 ) )  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 
/\  ( |_ `  ( M  /  2
) )  <_  M
) )
3222, 23, 30, 31syl3anbrc 1136 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  ( 0 ... M ) )
33 nn0uz 10278 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
3423, 33syl6eleq 2386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
35 elfzp12 10877 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( |_ `  ( M  / 
2 ) )  e.  ( 0 ... M
)  <->  ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  =  0  \/  ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) ) ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( M  /  2
) )  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( ( |_ `  ( M  /  2
) )  =  0  \/  ( |_ `  ( M  /  2
) )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) ) ) )
3732, 36mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( M  /  2
) )  =  0  \/  ( |_ `  ( M  /  2
) )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M ) ) )
38 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  ->  (
1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) )  =  ( 1 ... 0
) )
39 fz10 10830 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
4038, 39syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  ->  (
1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) )  =  (/) )
41 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  ->  (
( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
42 0p1e1 9855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4341, 42syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  ->  (
( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 )  =  1 )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  ->  (
( ( |_ `  ( M  /  2
) )  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M ) )
4540, 44uneq12d 3343 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) )  =  ( (/)  u.  (
1 ... M ) ) )
46 un0 3492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... M )  u.  (/) )  =  ( 1 ... M )
47 uncom 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... M )  u.  (/) )  =  (
(/)  u.  ( 1 ... M ) )
4846, 47eqtr3i 2318 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... M )  =  ( (/)  u.  (
1 ... M ) )
4945, 48syl6reqr 2347 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  ->  (
1 ... M )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) ) )
50 fzsplit 10832 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
1 ... M )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) ) )
5142oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 ) ... M )  =  ( 1 ... M
)
5250, 51eleq2s 2388 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M )  ->  (
1 ... M )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) ) )
5349, 52jaoi 368 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  =  0  \/  ( |_ `  ( M  / 
2 ) )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... M
) )  ->  (
1 ... M )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) ) )
5437, 53syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  =  ( ( 1 ... ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) ) )
55 fzfid 11051 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
56 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  Q  e.  Prime )
572, 56syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
58 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
6059nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
61 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
621, 61syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
63 prmnn 12777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
6560, 64nndivred 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  /  P
)  e.  RR )
6665adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( Q  /  P )  e.  RR )
67 2nn 9893 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
68 elfznn 10835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( 1 ... M )  ->  u  e.  NN )
6968adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  u  e.  NN )
70 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  u  e.  NN )  ->  ( 2  x.  u
)  e.  NN )
7167, 69, 70sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
2  x.  u )  e.  NN )
7271nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
2  x.  u )  e.  RR )
7366, 72remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) )  e.  RR )
7459nnrpd 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR+ )
7564nnrpd 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  RR+ )
7674, 75rpdivcld 10423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  /  P
)  e.  RR+ )
7776adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( Q  /  P )  e.  RR+ )
7871nnrpd 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
2  x.  u )  e.  RR+ )
7977, 78rpmulcld 10422 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) )  e.  RR+ )
8079rpge0d 10410 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) )
81 flge0nn0 10964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) )  -> 
( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) )  e.  NN0 )
8273, 80, 81syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) )  e. 
NN0 )
8382nn0cnd 10036 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) )  e.  CC )
8417, 54, 55, 83fsumsplit 12228 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  (
1 ... M ) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) )  =  ( sum_ u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) )  +  sum_ u  e.  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) )
857, 84syl5eqr 2342 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) )  =  ( sum_ u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) )  +  sum_ u  e.  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) )
8685oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^
sum_ u  e.  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( sum_ u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) ) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) )  +  sum_ u  e.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) ( |_
`  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )
87 neg1cn 9829 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
8887a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
89 fzfid 11051 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
)  e.  Fin )
90 ssun2 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M )  C_  (
( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) )
9190, 54syl5sseqr 3240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
)  C_  ( 1 ... M ) )
9291sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
) )  ->  u  e.  ( 1 ... M
) )
9392, 82syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
) )  ->  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) )  e. 
NN0 )
9489, 93fsumnn0cl 12225 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  (
( ( |_ `  ( M  /  2
) )  +  1 ) ... M ) ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) )  e.  NN0 )
95 fzfid 11051 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  e.  Fin )
96 ssun1 3351 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( M  /  2 ) )  +  1 ) ... M ) )
9796, 54syl5sseqr 3240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) 
C_  ( 1 ... M ) )
9897sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... M
) )
9998, 82syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) )  e.  NN0 )
10095, 99fsumnn0cl 12225 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  (
1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) ) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) )  e.  NN0 )
10188, 94, 100expaddd 11263 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( sum_ u  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) ) ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) )  +  sum_ u  e.  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ sum_ u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) )  x.  ( -u 1 ^ sum_ u  e.  ( ( ( |_
`  ( M  / 
2 ) )  +  1 ) ... M
) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) ) )
102 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
103 xpfi 7144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
10455, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
105 lgsquad.6 . . . . . . . . 9  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
106 opabssxp 4778 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) }  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
107105, 106eqsstri 3221 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
108 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) ) )  ->  S  e.  Fin )
109104, 107, 108sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
110 ssrab2 3271 . . . . . . 7  |-  { z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z
) }  C_  S
111 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  { z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z ) }  C_  S )  ->  { z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z
) }  e.  Fin )
112109, 110, 111sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z ) }  e.  Fin )
113 hashcl 11366 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z ) } )  e.  NN0 )
114112, 113syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z ) } )  e.  NN0 )
115 ssrab2 3271 . . . . . . 7  |-  { z  e.  S  |  2 
||  ( 1st `  z
) }  C_  S
116 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  { z  e.  S  | 
2  ||  ( 1st `  z ) }  C_  S )  ->  { z  e.  S  |  2 
||  ( 1st `  z
) }  e.  Fin )
117109, 115, 116sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { z  e.  S  |  2  ||  ( 1st `  z ) }  e.  Fin )
118 hashcl 11366 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  S  | 
2  ||  ( 1st `  z ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
z  e.  S  | 
2  ||  ( 1st `  z ) } )  e.  NN0 )
119117, 118syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  S  | 
2  ||  ( 1st `  z ) } )  e.  NN0 )
12088, 114, 119expaddd 11263 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  {
z  e.  S  | 
2  ||  ( 1st `  z ) } )  +  ( # `  {
z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z ) } ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  {
z  e.  S  | 
2  ||  ( 1st `  z ) } ) )  x.  ( -u
1 ^ ( # `  { z  e.  S  |  -.  2  ||  ( 1st `  z ) } ) ) ) )
12198, 71syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  e.  NN )
122 fzfid 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) )  e. 
Fin )
123 xpsnen2g 6971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  u
)  e.  NN  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) )  e.  Fin )  -> 
( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) )  ~~  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )
124121, 122, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( {
( 2  x.  u
) }  X.  (
1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) ) 
~~  ( 1 ... ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) )
125 hasheni 11363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )  ~~  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) )  -> 
( # `  ( { ( 2  x.  u
) }  X.  (
1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) ) )  =  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( # `  ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) ) )
127 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }  C_  S
128105relopabi 4827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  S
129 relss 4791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) }  C_  S  ->  ( Rel  S  ->  Rel  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) } ) )
130127, 128, 129mp2 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) }
131 relxp 4810 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )
132105eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  S  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) } )
133 opabid 4287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }  <->  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) )
134132, 133bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  S  <->  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )
135 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  y  <_  N )  /\  ( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) )  <->  ( y  e.  NN  /\  ( y  <_  N  /\  (
y  x.  P )  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )
136 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
13764ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  e.  NN )
138136, 137nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
y  x.  P )  e.  NN )
139138nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
y  x.  P )  e.  RR )
14059adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  Q  e.  NN )
141140, 121nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  e.  NN )
142141adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  e.  NN )
143142nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  e.  RR )
144139, 143ltlend 8980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  ( (
y  x.  P )  <_  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  /\  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  =/=  ( y  x.  P ) ) ) )
145121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
2  x.  u )  e.  NN )
146145nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
2  x.  u )  e.  RR )
147137nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  e.  RR )
148147rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  /  2 )  e.  RR )
14911adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  M  e.  RR )
150149adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
151 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  ->  u  <_  ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )
152151adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  u  <_  ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )
153149rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( M  /  2 )  e.  RR )
154 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
156 flge 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( M  /  2
)  e.  RR  /\  u  e.  ZZ )  ->  ( u  <_  ( M  /  2 )  <->  u  <_  ( |_ `  ( M  /  2 ) ) ) )
157153, 155, 156syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( u  <_  ( M  /  2
)  <->  u  <_  ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) ) )
158152, 157mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  u  <_  ( M  /  2 ) )
159 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) )  ->  u  e.  NN )
160159adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  NN )
161160nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  RR )
162 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  2  e.  RR
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  2  e.  RR )
164 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  0  <  2
165164a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  0  <  2 )
166 lemuldiv2 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( u  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  u )  <_  M 
<->  u  <_  ( M  /  2 ) ) )
167161, 149, 163, 165, 166syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
2  x.  u )  <_  M  <->  u  <_  ( M  /  2 ) ) )
168158, 167mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  <_  M )
169168adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
2  x.  u )  <_  M )
170147ltm1d 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  -  1 )  <  P )
171 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( P  e.  RR  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
172147, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
173162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
174164a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  0  <  2 )
175 ltdiv1 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P  -  1 )  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( P  -  1 )  < 
P  <->  ( ( P  -  1 )  / 
2 )  <  ( P  /  2 ) ) )
176172, 147, 173, 174, 175syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( P  -  1 )  <  P  <->  ( ( P  -  1 )  /  2 )  < 
( P  /  2
) ) )
177170, 176mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  <  ( P  / 
2 ) )
1785, 177syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  M  <  ( P  /  2
) )
179146, 150, 148, 169, 178lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
2  x.  u )  <  ( P  / 
2 ) )
180137nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  e.  RR+ )
181 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( P  e.  RR+  ->  ( P  /  2 )  < 
P )
182180, 181syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  /  2 )  < 
P )
183146, 148, 147, 179, 182lttrd 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
2  x.  u )  <  P )
184146, 147ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  u
)  <  P  <->  -.  P  <_  ( 2  x.  u
) ) )
185183, 184mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  -.  P  <_  ( 2  x.  u ) )
18662ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  e.  Prime )
187 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
188186, 187syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  e.  ZZ )
189 dvdsle 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( 2  x.  u
)  ->  P  <_  ( 2  x.  u ) ) )
190188, 145, 189syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( 2  x.  u )  ->  P  <_  ( 2  x.  u
) ) )
191185, 190mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( 2  x.  u ) )
192 prmrp 12796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( P  gcd  Q
)  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
19362, 57, 192syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( ( P  gcd  Q )  =  1  <->  P  =/=  Q ) )
1943, 193mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Q
)  =  1 )
195194ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  gcd  Q )  =  1 )
19657ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  Q  e.  Prime )
197 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
198196, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  Q  e.  ZZ )
199145nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
2  x.  u )  e.  ZZ )
200 coprmdvds 12797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  (
2  x.  u )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( Q  x.  (
2  x.  u ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  ( 2  x.  u
) ) )
201188, 198, 199, 200syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  /\  ( P  gcd  Q )  =  1 )  ->  P  ||  (
2  x.  u ) ) )
202195, 201mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  ->  P  ||  ( 2  x.  u
) ) )
203191, 202mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) )
204 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
205204adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
206 dvdsmul2 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( y  x.  P ) )
207205, 188, 206syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  ||  ( y  x.  P
) )
208 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  =  ( y  x.  P )  ->  ( P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  P  ||  (
y  x.  P ) ) )
209207, 208syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  u ) )  =  ( y  x.  P )  ->  P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) ) )
210209necon3bd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -.  P  ||  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  -> 
( Q  x.  (
2  x.  u ) )  =/=  ( y  x.  P ) ) )
211203, 210mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  =/=  ( y  x.  P ) )
212211biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <_  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  ( (
y  x.  P )  <_  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  /\  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  =/=  ( y  x.  P ) ) ) )
213144, 212bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  ( y  x.  P )  <_  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) ) ) )
214 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
215214adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
216137nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  0  <  P )
217 lemuldiv 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( Q  x.  (
2  x.  u ) )  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( (
y  x.  P )  <_  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  y  <_  ( ( Q  x.  (
2  x.  u ) )  /  P ) ) )
218215, 143, 147, 216, 217syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <_  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  y  <_  ( ( Q  x.  (
2  x.  u ) )  /  P ) ) )
219140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  Q  e.  NN )
220219nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  Q  e.  CC )
221145nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
2  x.  u )  e.  CC )
222137nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  e.  CC )
223137nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  P  =/=  0 )
224220, 221, 222, 223div23d 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  x.  (
2  x.  u ) )  /  P )  =  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) )
225224breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
y  <_  ( ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  /  P )  <->  y  <_  ( ( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) )
226213, 218, 2253bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  y  <_  ( ( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) )
227219nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  Q  e.  RR )
228219nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  0  <  Q )
229 ltmul2 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( 2  x.  u
)  e.  RR  /\  ( P  /  2
)  e.  RR  /\  ( Q  e.  RR  /\  0  <  Q ) )  ->  ( (
2  x.  u )  <  ( P  / 
2 )  <->  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <  ( Q  x.  ( P  /  2 ) ) ) )
230146, 148, 227, 228, 229syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  u
)  <  ( P  /  2 )  <->  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <  ( Q  x.  ( P  /  2 ) ) ) )
231179, 230mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  <  ( Q  x.  ( P  /  2
) ) )
232 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  2  e.  CC
233232a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
234 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  2  =/=  0
235234a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  2  =/=  0 )
236 divass 9458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Q  e.  CC  /\  P  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( Q  x.  P )  / 
2 )  =  ( Q  x.  ( P  /  2 ) ) )
237 div23 9459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Q  e.  CC  /\  P  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( Q  x.  P )  / 
2 )  =  ( ( Q  /  2
)  x.  P ) )
238236, 237eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Q  e.  CC  /\  P  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( Q  x.  ( P  /  2
) )  =  ( ( Q  /  2
)  x.  P ) )
239220, 222, 233, 235, 238syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  x.  ( P  /  2 ) )  =  ( ( Q  /  2 )  x.  P ) )
240231, 239breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  <  ( ( Q  /  2 )  x.  P ) )
241227rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  /  2 )  e.  RR )
242241, 147remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  /  2
)  x.  P )  e.  RR )
243 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  x.  P
)  e.  RR  /\  ( Q  x.  (
2  x.  u ) )  e.  RR  /\  ( ( Q  / 
2 )  x.  P
)  e.  RR )  ->  ( ( ( y  x.  P )  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  /\  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  <  ( ( Q  /  2 )  x.  P ) )  -> 
( y  x.  P
)  <  ( ( Q  /  2 )  x.  P ) ) )
244139, 143, 242, 243syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( y  x.  P )  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) )  /\  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <  (
( Q  /  2
)  x.  P ) )  ->  ( y  x.  P )  <  (
( Q  /  2
)  x.  P ) ) )
245240, 244mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  ->  (
y  x.  P )  <  ( ( Q  /  2 )  x.  P ) ) )
246 ltmul1 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( Q  /  2
)  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( y  <  ( Q  /  2
)  <->  ( y  x.  P )  <  (
( Q  /  2
)  x.  P ) ) )
247215, 241, 147, 216, 246syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
y  <  ( Q  /  2 )  <->  ( y  x.  P )  <  (
( Q  /  2
)  x.  P ) ) )
248245, 247sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  ->  y  <  ( Q  /  2
) ) )
249 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Q  e.  RR  ->  ( Q  -  1 )  e.  RR )
250227, 249syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  -  1 )  e.  RR )
251250recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  -  1 )  e.  CC )
252220, 251, 233, 235divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  -  ( Q  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( Q  /  2 )  -  ( ( Q  - 
1 )  /  2
) ) )
253 lgsquad.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
254253oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Q  /  2 )  -  N )  =  ( ( Q  / 
2 )  -  (
( Q  -  1 )  /  2 ) )
255252, 254syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  -  ( Q  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( Q  /  2 )  -  N ) )
256 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  CC
257 nncan 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Q  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( Q  -  ( Q  -  1 ) )  =  1 )
258220, 256, 257sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  -  ( Q  -  1 ) )  =  1 )
259258oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  -  ( Q  -  1 ) )  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
260 halflt1 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 1  /  2 )  <  1
261259, 260syl6eqbr 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  -  ( Q  -  1 ) )  /  2 )  <  1 )
262255, 261eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( Q  /  2
)  -  N )  <  1 )
263 oddprm 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Q  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
2642, 263syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
265253, 264syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
266265ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
267266nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
268 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  e.  RR
269268a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
270241, 267, 269ltsubadd2d 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( Q  / 
2 )  -  N
)  <  1  <->  ( Q  /  2 )  < 
( N  +  1 ) ) )
271262, 270mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( Q  /  2 )  < 
( N  +  1 ) )
272 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
273267, 272syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
274 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( Q  /  2
)  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  RR )  ->  ( ( y  <  ( Q  / 
2 )  /\  ( Q  /  2 )  < 
( N  +  1 ) )  ->  y  <  ( N  +  1 ) ) )
275215, 241, 273, 274syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  <  ( Q  /  2 )  /\  ( Q  /  2
)  <  ( N  +  1 ) )  ->  y  <  ( N  +  1 ) ) )
276271, 275mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
y  <  ( Q  /  2 )  -> 
y  <  ( N  +  1 ) ) )
277248, 276syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  ->  y  <  ( N  +  1 ) ) )
278 nnleltp1 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( y  <_  N  <->  y  <  ( N  + 
1 ) ) )
279136, 266, 278syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
y  <_  N  <->  y  <  ( N  +  1 ) ) )
280277, 279sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  ->  y  <_  N ) )
281280pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  ( y  <_  N  /\  ( y  x.  P )  < 
( Q  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) )
28298, 73syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) )  e.  RR )
283 flge 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) )  e.  RR  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) )  <-> 
y  <_  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) )
284282, 204, 283syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
y  <_  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) )  <->  y  <_  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) )
285226, 281, 2843bitr3d 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( y  <_  N  /\  ( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) )  <->  y  <_  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) )
286285pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  NN  /\  ( y  <_  N  /\  ( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) ) )  <-> 
( y  e.  NN  /\  y  <_  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) ) )
287135, 286syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
( y  e.  NN  /\  y  <_  N )  /\  ( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) ) )
288287adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
( ( y  e.  NN  /\  y  <_  N )  /\  (
y  x.  P )  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) ) )
289 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  x  =  ( 2  x.  u ) )
290 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
291121, 290syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
29226adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
293 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 2  x.  u
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  u
)  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 2  x.  u )  <_  M ) )
294291, 292, 293syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
2  x.  u )  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 2  x.  u )  <_  M ) )
295168, 294mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  e.  ( 1 ... M
) )
296295adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
2  x.  u )  e.  ( 1 ... M ) )
297289, 296eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  x  e.  ( 1 ... M
) )
298297biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) ) )
299265nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
300299ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  N  e.  ZZ )
301 fznn 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_  N ) ) )
302300, 301syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_  N ) ) )
303298, 302bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_  N ) ) )
304 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( 2  x.  u )  ->  (
x  x.  Q )  =  ( ( 2  x.  u )  x.  Q ) )
305121nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  e.  CC )
306140nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
307305, 306mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
2  x.  u )  x.  Q )  =  ( Q  x.  (
2  x.  u ) ) )
308304, 307sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
x  x.  Q )  =  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) )
309308breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
( y  x.  P
)  <  ( x  x.  Q )  <->  ( y  x.  P )  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u ) ) ) )
310303, 309anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) )  <->  ( (
y  e.  NN  /\  y  <_  N )  /\  ( y  x.  P
)  <  ( Q  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )
311282flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) )  e.  ZZ )
312 fznn 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) )  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) ) )
313311, 312syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) )  <-> 
( y  e.  NN  /\  y  <_  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) ) )
314313adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) ) )
315288, 310, 3143bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  (
( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) )  <->  y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )
316134, 315syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  /\  x  =  ( 2  x.  u
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  S  <->  y  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )
317316pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
x  =  ( 2  x.  u )  /\  <.
x ,  y >.  e.  S )  <->  ( x  =  ( 2  x.  u )  /\  y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) ) )
318 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
319 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
320318, 319op1std 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
321320eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
)  <->  ( 2  x.  u )  =  x ) )
322 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  u )  =  x  <->  x  =  ( 2  x.  u
) )
323321, 322syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
)  <->  x  =  (
2  x.  u ) ) )
324323elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) }  <->  ( <. x ,  y >.  e.  S  /\  x  =  (
2  x.  u ) ) )
325 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  S  /\  x  =  ( 2  x.  u ) )  <->  ( x  =  ( 2  x.  u )  /\  <. x ,  y >.  e.  S
) )
326324, 325bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) }  <->  ( x  =  ( 2  x.  u
)  /\  <. x ,  y >.  e.  S
) )
327 opelxp 4735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  { ( 2  x.  u ) }  /\  y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) ) )
328 elsn 3668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { ( 2  x.  u ) }  <-> 
x  =  ( 2  x.  u ) )
329328anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  { ( 2  x.  u ) }  /\  y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )  <->  ( x  =  ( 2  x.  u
)  /\  y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )
330327, 329bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  (
( Q  /  P
)  x.  ( 2  x.  u ) ) ) ) )  <->  ( x  =  ( 2  x.  u )  /\  y  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )
331317, 326, 3303bitr4g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) }  <->  <. x ,  y >.  e.  ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) ) )
332130, 131, 331eqrelrdv 4799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  { z  e.  S  |  (
2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }  =  ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )
333332eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( {
( 2  x.  u
) }  X.  (
1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) )  =  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) } )
334333fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( # `  ( { ( 2  x.  u ) }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) ) )  =  (
# `  { z  e.  S  |  (
2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) } ) )
335 hashfz1 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u
) ) ) )
33699, 335syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) ) )
337126, 334, 3363eqtr3rd 2337 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  (
2  x.  u ) ) )  =  (
# `  { z  e.  S  |  (
2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) } ) )
338337sumeq2dv 12192 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  (
1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) ) ( |_ `  ( ( Q  /  P )  x.  ( 2  x.  u ) ) )  =  sum_ u  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) ) ( # `  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )
339109adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
340 ssfi 7099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  { z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) }  C_  S )  ->  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }  e.  Fin )
341339, 127, 340sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  { z  e.  S  |  (
2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }  e.  Fin )
342160nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  CC )
343342adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  u  e.  CC )
344232a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  2  e.  CC )
345234a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  2  =/=  0 )
346343, 344, 345divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  ( (
2  x.  u )  /  2 )  =  u )
347 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  ( 1st `  z )  =  ( 1st `  v
) )
348347eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  v  ->  (
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z )  <->  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  v
) ) )
349348elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }  <->  ( v  e.  S  /\  (
2  x.  u )  =  ( 1st `  v
) ) )
350349simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }  ->  (
2  x.  u )  =  ( 1st `  v
) )
351350ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  v
) )
352351oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  ( (
2  x.  u )  /  2 )  =  ( ( 1st `  v
)  /  2 ) )
353346, 352eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  u  =  ( ( 1st `  v
)  /  2 ) )
354353eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )  ->  ( ( 1st `  v )  / 
2 )  =  u )
355354ralrimivva 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) ) A. v  e.  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) }  (
( 1st `  v
)  /  2 )  =  u )
356 invdisj 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) ) A. v  e.  { z  e.  S  |  (
2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }  ( ( 1st `  v )  /  2 )  =  u  -> Disj  u  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) ) { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) } )
357355, 356syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> Disj  u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) ) { z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } )
35895, 341, 357hashiun 12296 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) } )  =  sum_ u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2 ) ) ) ( # `  {
z  e.  S  | 
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) } ) )
359 iunrab 3965 . . . . . . . . 9  |-  U_ u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) ) { z  e.  S  |  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) }  =  { z  e.  S  |  E. u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) ) ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
) }
360 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ZZ  ->  u  e.  CC )
361360adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  u  e.  ZZ )  ->  u  e.  CC )
362 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( 2  x.  u
)  =  ( u  x.  2 ) )
363232, 361, 362sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  u  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  u )  =  ( u  x.  2 ) )
364363eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  u  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z )  <->  ( u  x.  2 )  =  ( 1st `  z ) ) )
365364rexbidva 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( E. u  e.  ZZ  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z )  <->  E. u  e.  ZZ  ( u  x.  2 )  =  ( 1st `  z ) ) )
366154anim1i 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) )  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) )  -> 
( u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )
367366reximi2 2662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) ) ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z
)  ->  E. u  e.  ZZ  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) )
368 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) )
369 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
370107, 369sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) ) )
371 xp1st 6165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( ( 1 ... M )  X.  ( 1 ... N
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( 1 ... M
) )
372370, 371syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( 1 ... M
) )
373372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 1st `  z
)  e.  ( 1 ... M ) )
374 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( 1 ... M )  ->  ( 1st `  z )  <_  M )
375373, 374syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 1st `  z
)  <_  M )
376368, 375eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  <_  M
)
377 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ZZ  ->  u  e.  RR )
378377ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  u  e.  RR )
37911ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  M  e.  RR )
380162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  2  e.  RR )
381164a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  0  <  2
)
382378, 379, 380, 381, 166syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( ( 2  x.  u )  <_  M 
<->  u  <_  ( M  /  2 ) ) )
383376, 382mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  u  <_  ( M  /  2 ) )
38412ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( M  / 
2 )  e.  RR )
385 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
386384, 385, 156syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( u  <_ 
( M  /  2
)  <->  u  <_  ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) ) )
387383, 386mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  u  <_  ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )
388232mul01i 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
389 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1st `  z )  e.  ( 1 ... M )  ->  ( 1st `  z )  e.  NN )
390373, 389syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 1st `  z
)  e.  NN )
391368, 390eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 2  x.  u )  e.  NN )
392391nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  0  <  (
2  x.  u ) )
393388, 392syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 2  x.  0 )  <  (
2  x.  u ) )
394 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
395394a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  0  e.  RR )
396 ltmul2 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  u  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 0  < 
u  <->  ( 2  x.  0 )  <  (
2  x.  u ) ) )
397395, 378, 380, 381, 396syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( 0  < 
u  <->  ( 2  x.  0 )  <  (
2  x.  u ) ) )
398393, 397mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  0  <  u
)
399 elnnz 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  NN  <->  ( u  e.  ZZ  /\  0  < 
u ) )
400385, 398, 399sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  u  e.  NN )
401400, 290syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  u  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
40213ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( |_ `  ( M  /  2
) )  e.  ZZ )
403 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( M  / 
2 ) )  e.  ZZ )  ->  (
u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  /  2
) ) )  <->  u  <_  ( |_ `  ( M  /  2 ) ) ) )
404401, 402, 403syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  <-> 
u  <_  ( |_ `  ( M  /  2
) ) ) )
405387, 404mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  u  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) ) )
406405, 368jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  (
u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) ) )  ->  ( u  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( M  / 
2 ) ) )  /\  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) ) )
407406ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
( u  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  u
)  =  ( 1st `  z ) )  -> 
( u  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( M  / 
2 ) ) )  /\  ( 2  x.  u )  =  ( 1st `  z ) ) ) )
408407