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Theorem lgsquadlem3 21145
Description: Lemma for lgsquad 21146. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgseisen.3  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
lgsquad.4  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.5  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
lgsquad.6  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem3  |-  ( ph  ->  ( ( P  / L Q )  x.  ( Q  / L P ) )  =  ( -u
1 ^ ( M  x.  N ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, P    ph, x, y    y, M    x, N, y    x, Q, y    x, S    x, M    y, S

Proof of Theorem lgsquadlem3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
2 lgseisen.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3 lgseisen.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =/=  Q )
43necomd 2689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  =/=  P )
5 lgsquad.5 . . . . 5  |-  N  =  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)
6 lgsquad.4 . . . . 5  |-  M  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
7 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  <->  z  e.  ( 1 ... M
) ) )
8 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  <->  w  e.  ( 1 ... N
) ) )
97, 8bi2anan9 845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( z  e.  ( 1 ... M
)  /\  w  e.  ( 1 ... N
) ) ) )
10 ancom 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( 1 ... M )  /\  w  e.  ( 1 ... N ) )  <-> 
( w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) ) )
119, 10syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( w  e.  ( 1 ... N
)  /\  z  e.  ( 1 ... M
) ) ) )
12 oveq1 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  x.  Q )  =  ( z  x.  Q ) )
13 oveq1 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y  x.  P )  =  ( w  x.  P ) )
1412, 13breqan12d 4230 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  <-> 
( z  x.  Q
)  <  ( w  x.  P ) ) )
1511, 14anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  <->  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) ) )
1615ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  w  /\  x  =  z )  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  <->  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) ) )
1716cbvopabv 4280 . . . . 5  |-  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  =  { <. w ,  z
>.  |  ( (
w  e.  ( 1 ... N )  /\  z  e.  ( 1 ... M ) )  /\  ( z  x.  Q )  <  (
w  x.  P ) ) }
181, 2, 4, 5, 6, 17lgsquadlem2 21144 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  / L Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
19 relopab 5004 . . . . . . . 8  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }
20 fzfid 11317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
21 fzfid 11317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
22 xpfi 7381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
2320, 21, 22syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin )
24 opabssxp 4953 . . . . . . . . 9  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
25 ssfi 7332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } 
C_  ( ( 1 ... M )  X.  ( 1 ... N
) ) )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin )
2623, 24, 25sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin )
27 cnven 7185 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  /\  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  e.  Fin )  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )
2819, 26, 27sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  `' { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )
29 cnvopab 5277 . . . . . . 7  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  =  { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }
3028, 29syl6breq 4254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  ~~  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )
31 hasheni 11637 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } 
~~  { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  ->  (
# `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } )  =  ( # `  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  =  ( # `  { <. y ,  x >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )
3332oveq2d 6100 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } ) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. y ,  x >.  |  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
3418, 33eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  / L Q )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) ) )
35 lgsquad.6 . . . 4  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) }
362, 1, 3, 6, 5, 35lgsquadlem2 21144 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  / L P )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 S ) ) )
3734, 36oveq12d 6102 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  / L Q )  x.  ( Q  / L P ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( # `
 { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } ) )  x.  ( -u
1 ^ ( # `  S ) ) ) )
38 neg1cn 10072 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
3938a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
40 opabssxp 4953 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) }  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
4135, 40eqsstri 3380 . . . . 5  |-  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )
42 ssfi 7332 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) )  e.  Fin  /\  S  C_  ( ( 1 ... M )  X.  (
1 ... N ) ) )  ->  S  e.  Fin )
4323, 41, 42sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
44 hashcl 11644 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( # `
 S )  e. 
NN0 )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN0 )
46 hashcl 11644 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  e.  Fin  ->  ( # `
 { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) } )  e.  NN0 )
4726, 46syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  e.  NN0 )
4839, 45, 47expaddd 11530 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } ) )  x.  ( -u 1 ^ ( # `  S
) ) ) )
491eldifad 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
5049adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  Prime )
51 prmnn 13087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  NN )
53 oddprm 13194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
541, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Q  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
555, 54syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5655adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  NN )
5756nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
58 prmz 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ZZ )
5950, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  ZZ )
60 peano2zm 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Q  e.  ZZ  ->  ( Q  -  1 )  e.  ZZ )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  ZZ )
6256nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  e.  RR )
6361zred 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  RR )
64 prmuz2 13102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6550, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
66 uz2m1nn 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( Q  -  1 )  e.  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  NN )
6867nnrpd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  RR+ )
69 rphalflt 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  RR+  ->  ( ( Q  -  1 )  /  2 )  < 
( Q  -  1 ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  - 
1 )  /  2
)  <  ( Q  -  1 ) )
715, 70syl5eqbr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  <  ( Q  - 
1 ) )
7262, 63, 71ltled 9226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  N  <_  ( Q  - 
1 ) )
73 eluz2 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( Q  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( Q  -  1 ) ) )
7457, 61, 72, 73syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
75 fzss2 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( Q  -  1 ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )
77 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ( 1 ... N ) )
7876, 77sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )
79 fzm1ndvds 12906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q  e.  NN  /\  y  e.  ( 1 ... ( Q  - 
1 ) ) )  ->  -.  Q  ||  y
)
8052, 78, 79syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  y )
814adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  =/=  P )
822eldifad 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
8382adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  Prime )
84 prmrp 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  P  e.  Prime )  ->  (
( Q  gcd  P
)  =  1  <->  Q  =/=  P ) )
8550, 83, 84syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  gcd  P )  =  1  <->  Q  =/=  P ) )
8681, 85mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  gcd  P
)  =  1 )
87 prmz 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
8883, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
89 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  ZZ )
9089ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
91 coprmdvds 13107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( Q  ||  ( P  x.  y )  /\  ( Q  gcd  P
)  =  1 )  ->  Q  ||  y
) )
9259, 88, 90, 91syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( Q  ||  ( P  x.  y
)  /\  ( Q  gcd  P )  =  1 )  ->  Q  ||  y
) )
9386, 92mpan2d 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  ||  ( P  x.  y )  ->  Q  ||  y ) )
9480, 93mtod 171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  ( P  x.  y ) )
95 prmnn 13087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
9683, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  NN )
9796nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  P  e.  CC )
98 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
9998ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  NN )
10099nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
y  e.  CC )
10197, 100mulcomd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( P  x.  y
)  =  ( y  x.  P ) )
102101breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( Q  ||  ( P  x.  y )  <->  Q 
||  ( y  x.  P ) ) )
10394, 102mtbid 293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  Q  ||  ( y  x.  P ) )
104 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  ->  x  e.  ZZ )
105104ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
106 dvdsmul2 12877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  Q  ||  ( x  x.  Q ) )
107105, 59, 106syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  Q  ||  ( x  x.  Q ) )
108 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  x.  Q )  =  ( y  x.  P )  ->  ( Q  ||  ( x  x.  Q )  <->  Q  ||  (
y  x.  P ) ) )
109107, 108syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  =  ( y  x.  P )  ->  Q  ||  (
y  x.  P ) ) )
110109necon3bd 2640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( -.  Q  ||  ( y  x.  P
)  ->  ( x  x.  Q )  =/=  (
y  x.  P ) ) )
111103, 110mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  =/=  ( y  x.  P ) )
112 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  ->  x  e.  NN )
113112ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  x  e.  NN )
114113, 52nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  e.  NN )
115114nnred 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( x  x.  Q
)  e.  RR )
11699, 96nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  x.  P
)  e.  NN )
117116nnred 10020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( y  x.  P
)  e.  RR )
118115, 117lttri2d 9217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  =/=  (
y  x.  P )  <-> 
( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) )
119111, 118mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) )
120119ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
121120pm4.71rd 618 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) )  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
122 ancom 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  \/  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) )  /\  ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  <->  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) )
123121, 122syl6rbb 255 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
124123opabbidv 4274 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) ) } )
125 unopab 4287 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
12635uneq2i 3500 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  u.  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) } )
127 andi 839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
128127opabbii 4275 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  \/  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  \/  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
129125, 126, 1283eqtr4i 2468 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  \/  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) ) }
130 df-xp 4887 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... M )  X.  ( 1 ... N ) )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) }
131124, 129, 1303eqtr4g 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  u.  S )  =  ( ( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )
132131fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  u.  S
) )  =  (
# `  ( (
1 ... M )  X.  ( 1 ... N
) ) ) )
133 inopab 5008 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( y  x.  P )  < 
( x  x.  Q
) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
13435ineq2i 3541 . . . . . . 7  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  S )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  i^i  {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) } )
135 anandi 803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <-> 
( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
136135opabbii 4275 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) )  /\  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }
137133, 134, 1363eqtr4i 2468 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  i^i  S )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }
138 ltnsym2 9178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  x.  Q
)  e.  RR  /\  ( y  x.  P
)  e.  RR )  ->  -.  ( (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )
139115, 117, 138syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) ) )  ->  -.  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) )
140139ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -.  ( ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P )  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) )
141 imnan 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  -.  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <->  -.  ( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
142140, 141sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
143142nexdv 1942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
144143nexdv 1942 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  E. x E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
145 opabn0 4488 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) ) )
146145necon1bbii 2658 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x E. y
( ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
( x  x.  Q
)  <  ( y  x.  P )  /\  (
y  x.  P )  <  ( x  x.  Q ) ) )  <->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }  =  (/) )
147144, 146sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
)  /\  ( y  x.  P )  <  (
x  x.  Q ) ) ) }  =  (/) )
148137, 147syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  < 
( y  x.  P
) ) }  i^i  S )  =  (/) )
149 hashun 11661 . . . . 5  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  e.  Fin  /\  S  e.  Fin  /\  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  i^i  S
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( {
<. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) }  u.  S ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S
) ) )
15026, 43, 148, 149syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( x  x.  Q )  <  (
y  x.  P ) ) }  u.  S
) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )
151 hashxp 11702 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
15220, 21, 151syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) ) )
153 oddprm 13194 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1542, 153syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
1556, 154syl5eqel 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
156155nnnn0d 10279 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
157 hashfz1 11635 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
158156, 157syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
15955nnnn0d 10279 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
160 hashfz1 11635 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
161159, 160syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
162158, 161oveq12d 6102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  ( # `  (
1 ... N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
163152, 162eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... M
)  X.  ( 1 ... N ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
164132, 150, 1633eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) )  =  ( M  x.  N
) )
165164oveq2d 6100 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( 1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  x.  Q )  <  ( y  x.  P ) ) } )  +  ( # `  S ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  x.  N ) ) )
16637, 48, 1653eqtr2d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( ( P  / L Q )  x.  ( Q  / L P ) )  =  ( -u
1 ^ ( M  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215   {copab 4268    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   Rel wrel 4886   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ~~ cen 7109   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   ...cfz 11048   ^cexp 11387   #chash 11623    || cdivides 12857    gcd cgcd 13011   Primecprime 13084    / Lclgs 21083
This theorem is referenced by:  lgsquad  21146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-phi 13160  df-pc 13216  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-rnghom 15824  df-drng 15842  df-field 15843  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-rsp 16252  df-2idl 16308  df-nzr 16334  df-rlreg 16348  df-domn 16349  df-idom 16350  df-cnfld 16709  df-zrh 16787  df-zn 16790  df-lgs 21084
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