MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgssq2 Structured version   Unicode version

Theorem lgssq2 21125
Description: The Legendre symbol at a square is equal to  1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgssq2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  / L ( N ^ 2 ) )  =  1 )

Proof of Theorem lgssq2
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
2 nnz 10308 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
323ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
4 nnne0 10037 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
543ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  =/=  0 )
6 lgsdi 21121 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  =/=  0  /\  N  =/=  0
) )  ->  ( A  / L ( N  x.  N ) )  =  ( ( A  / L N )  x.  ( A  / L N ) ) )
71, 3, 3, 5, 5, 6syl32anc 1193 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  / L ( N  x.  N ) )  =  ( ( A  / L N )  x.  ( A  / L N ) ) )
8 nncn 10013 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
983ad2ant2 980 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  N  e.  CC )
109sqvald 11525 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
1110oveq2d 6100 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  / L ( N ^ 2 ) )  =  ( A  / L ( N  x.  N ) ) )
12 lgscl 21099 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
131, 3, 12syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  / L N )  e.  ZZ )
1413zred 10380 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  / L N )  e.  RR )
15 absresq 12112 . . . 4  |-  ( ( A  / L N
)  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  / L N ) ^ 2 ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  / L N ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  / L N ) ^ 2 ) )
17 lgsabs1 21123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
182, 17sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( A  / L N ) )  =  1  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
1918biimp3ar 1285 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( abs `  ( A  / L N ) )  =  1 )
2019oveq1d 6099 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  / L N ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
21 sq1 11481 . . . 4  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2220, 21syl6eq 2486 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( abs `  ( A  / L N ) ) ^ 2 )  =  1 )
2313zcnd 10381 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  / L N )  e.  CC )
2423sqvald 11525 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A  / L N ) ^ 2 )  =  ( ( A  / L N
)  x.  ( A  / L N ) ) )
2516, 22, 243eqtr3d 2478 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  1  =  ( ( A  / L N )  x.  ( A  / L N ) ) )
267, 11, 253eqtr4d 2480 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( A  / L ( N ^ 2 ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000   NNcn 10005   2c2 10054   ZZcz 10287   ^cexp 11387   abscabs 12044    gcd cgcd 13011    / Lclgs 21083
This theorem is referenced by:  lgs1  21127  lgsquad2lem2  21148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-phi 13160  df-pc 13216  df-lgs 21084
  Copyright terms: Public domain W3C validator