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Theorem lgsval2lem 20545
Description: Lemma for lgsval2 20551. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  / L N )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 12762 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
2 lgsval.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( if ( n  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( n  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  n )  -  1 ) ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
32lgsval 20539 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  / L N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
41, 3sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  / L N )  =  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) ) )
5 prmnn 12761 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
65adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
76nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  =/=  0 )
87neneqd 2462 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  N  =  0
)
9 iffalse 3572 . . 3  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  =  0 ,  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) ,  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) ) )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
116nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
1211nn0ge0d 10021 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
0  <_  N )
13 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
146nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
15 lenlt 8901 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  N  <->  -.  N  <  0 ) )
1613, 14, 15sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  N  <->  -.  N  <  0 ) )
1712, 16mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  N  <  0
)
1817intnanrd 883 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
) )
19 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
)  ->  if (
( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  1 )
2114, 12absidd 11905 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( abs `  N
)  =  N )
2221fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
23 1z 10053 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
24 prmuz2 12776 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2524adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
26 df-2 9804 . . . . . . . . 9  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2726fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
2825, 27syl6eleq 2373 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
29 seqm1 11063 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( N  -  1 ) )  x.  ( F `  N ) ) )
3023, 28, 29sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( N  -  1 ) )  x.  ( F `  N ) ) )
31 1t1e1 9870 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3231a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 1  x.  1 )  =  1 )
33 uz2m1nn 10292 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
3425, 33syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN )
35 nnuz 10263 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3634, 35syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
37 elfznn 10819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  x  e.  NN )
3837adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  x  e.  NN )
392lgsfval 20540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e. 
Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) ) ^ (
x  pCnt  N )
) ,  1 ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) ) ^ (
x  pCnt  N )
) ,  1 ) )
41 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
4241zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  e.  RR )
4342ltm1d 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
44 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  N  <_  ( N  -  1 ) )
45 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4742, 46lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  <_  ( N  - 
1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  N ) )
4844, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  -.  ( N  -  1
)  <  N )
4943, 48pm2.65i 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
50 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  <->  N  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) ) )
5149, 50mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  N  ->  -.  x  e.  ( 1 ... ( N  - 
1 ) ) )
5251con2i 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  -.  x  =  N )
5352ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  =  N )
54 prmuz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5554adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
56 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  N  e.  Prime )
57 dvdsprm 12778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
x  ||  N  <->  x  =  N ) )
5855, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
x  ||  N  <->  x  =  N ) )
5953, 58mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  ||  N )
60 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  Prime )
616ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  N  e.  NN )
62 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  x  ||  N ) )
6360, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
( x  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  x  ||  N ) )
6459, 63mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  (
x  pCnt  N )  =  0 )
6564oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) )  =  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 ) ) ^ 0 ) )
66 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
67 znegcl 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
6823, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  ZZ
6923, 68keepel 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
)  e.  ZZ
7066, 69keepel 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) )  e.  ZZ
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  x  =  2 )  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  e.  ZZ )
72 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
7372ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  A  e.  ZZ )
74 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  Prime )
75 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  -.  x  = 
2 )
76 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =/=  2  <->  -.  x  =  2 )
7775, 76sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  =/=  2
)
78 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
7974, 77, 78sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
80 oddprm 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( x  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( x  -  1 )  / 
2 )  e.  NN )
8281nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( x  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
83 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( x  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8473, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
8584peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
86 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
8786ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  x  e.  NN )
8885, 87zmodcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  e.  NN0 )
8988nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  e.  ZZ )
90 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  x )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 )  e.  ZZ )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  Prime )  /\  -.  x  =  2 )  ->  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 )  e.  ZZ )
9271, 91ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  ZZ )
9392zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC )
9493adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC )
9594exp0d 11239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
0 )  =  1 )
9665, 95eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e. 
Prime )  /\  x  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  x  e.  Prime )  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) )  =  1 )
9796ifeq1da 3590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( x  e.  Prime ,  1 ,  1 ) )
98 ifid 3597 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  Prime ,  1 ,  1 )  =  1
9997, 98syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  if ( x  e.  Prime ,  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) ) ^
( x  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  1 )
10040, 99eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  /\  x  e.  (
1 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  =  1 )
10132, 36, 100seqid3 11090 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( N  - 
1 ) )  =  1 )
102101oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( N  -  1 ) )  x.  ( F `  N ) )  =  ( 1  x.  ( F `  N )
) )
1031adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
1042lgsfcl 20543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> ZZ )
10572, 103, 7, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  F : NN --> ZZ )
106 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( F `  N
)  e.  ZZ )
107105, 6, 106syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  e.  ZZ )
108107zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  e.  CC )
109108mulid2d 8853 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( 1  x.  ( F `  N )
)  =  ( F `
 N ) )
11030, 102, 1093eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  =  ( F `  N
) )
11122, 110eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) )  =  ( F `  N ) )
11220, 111oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  ( 1  x.  ( F `  N ) ) )
1132lgsfval 20540 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  if ( N  e. 
Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) ,  1 ) )
1146, 113syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) ,  1 ) )
115 iftrue 3571 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) ,  1 )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) ) ^ ( N 
pCnt  N ) ) )
116115adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  e.  Prime ,  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) ,  1 )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) ) )
1176nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  CC )
118117exp1d 11240 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N ^ 1 )  =  N )
119118oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  ( N ^ 1 ) )  =  ( N  pCnt  N ) )
120 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  N  e.  Prime )
121 pcid 12925 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  pCnt  ( N ^
1 ) )  =  1 )
122120, 23, 121sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  ( N ^ 1 ) )  =  1 )
123119, 122eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( N  pCnt  N
)  =  1 )
124123oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) )  =  ( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ 1 ) )
12593ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  A. x  e.  Prime  if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) )  e.  CC )
126 eqeq1 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
x  =  2  <->  N  =  2 ) )
127 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  N  ->  (
x  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
128127oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  -  1 )  /  2 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
129128oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) ) )
130129oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
131 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
132130, 131oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( A ^
( ( x  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  x )  =  ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N ) )
133132oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  x
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) )
134126, 133ifbieq2d 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
135134eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  ( if ( x  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  - 
1 ) )  e.  CC  <->  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) )  e.  CC ) )
136135rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( A. x  e.  Prime  if ( x  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( x  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  x )  -  1 ) )  e.  CC  ->  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A , 
0 ,  if ( ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } , 
1 ,  -u 1
) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  N
)  -  1 ) )  e.  CC ) )
137120, 125, 136sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  ->  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) )  e.  CC )
138137exp1d 11240 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ 1 )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
139124, 138eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) ^ ( N  pCnt  N ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
140114, 116, 1393eqtrd 2319 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( F `  N
)  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
141112, 109, 1403eqtrd 2319 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ ( ( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
N )  -  1 ) ) )
1424, 10, 1413eqtrd 2319 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  Prime )  -> 
( A  / L N )  =  if ( N  =  2 ,  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) ,  ( ( ( ( A ^ (
( N  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  N )  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149   ifcif 3565   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   7c7 9800   8c8 9801   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    mod cmo 10973    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889    / Lclgs 20533
This theorem is referenced by:  lgsval4lem  20546  lgsval2  20551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-lgs 20534
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