Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval4a Structured version   Unicode version

Theorem lgsval4a 21107
 Description: Same as lgsval4 21105 for positive . (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1
Assertion
Ref Expression
lgsval4a
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3
2 nnz 10308 . . . 4
4 nnne0 10037 . . . 4
6 lgsval4.1 . . . 4
76lgsval4 21105 . . 3
81, 3, 5, 7syl3anc 1185 . 2
9 nngt0 10034 . . . . . . 7
109adantl 454 . . . . . 6
11 0re 9096 . . . . . . 7
12 nnre 10012 . . . . . . . 8
1312adantl 454 . . . . . . 7
14 ltnsym 9177 . . . . . . 7
1511, 13, 14sylancr 646 . . . . . 6
1610, 15mpd 15 . . . . 5
1716intnanrd 885 . . . 4
18 iffalse 3748 . . . 4
1917, 18syl 16 . . 3
20 nnnn0 10233 . . . . . . 7
2120adantl 454 . . . . . 6
2221nn0ge0d 10282 . . . . 5
2313, 22absidd 12230 . . . 4
2423fveq2d 5735 . . 3
2519, 24oveq12d 6102 . 2
26 simpr 449 . . . . . 6
27 nnuz 10526 . . . . . 6
2826, 27syl6eleq 2528 . . . . 5
296lgsfcl3 21106 . . . . . . 7
301, 3, 5, 29syl3anc 1185 . . . . . 6
31 elfznn 11085 . . . . . 6
32 ffvelrn 5871 . . . . . 6
3330, 31, 32syl2an 465 . . . . 5
34 zmulcl 10329 . . . . . 6
3534adantl 454 . . . . 5
3628, 33, 35seqcl 11348 . . . 4
3736zcnd 10381 . . 3
3837mulid2d 9111 . 2
398, 25, 383eqtrd 2474 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cif 3741   class class class wbr 4215   cmpt 4269  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   cmul 9000   clt 9125  cneg 9297  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048   cseq 11328  cexp 11387  cabs 12044  cprime 13084   cpc 13215   clgs 21083 This theorem is referenced by:  lgsmod  21110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-phi 13160  df-pc 13216  df-lgs 21084
 Copyright terms: Public domain W3C validator