MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval4a Unicode version

Theorem lgsval4a 20780
Description: Same as lgsval4 20778 for positive  N. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval4.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
lgsval4a  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, N
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lgsval4a
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
2 nnz 10196 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
32adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4 nnne0 9925 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
54adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
6 lgsval4.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  / L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) )
76lgsval4 20778 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  / L N )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) ) ) )
81, 3, 5, 7syl3anc 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  / L N )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( abs `  N ) ) ) )
9 nngt0 9922 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
109adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
11 0re 8985 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
12 nnre 9900 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
14 ltnsym 9066 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  -.  N  <  0
) )
1511, 13, 14sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <  N  ->  -.  N  <  0
) )
1610, 15mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  -.  N  <  0
)
1716intnanrd 883 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )
18 iffalse 3661 . . . 4  |-  ( -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
)  ->  if (
( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
1917, 18syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  1 )
20 nnnn0 10121 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2120adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
2221nn0ge0d 10170 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  N )
2313, 22absidd 12112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( abs `  N
)  =  N )
2423fveq2d 5636 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( abs `  N
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
2519, 24oveq12d 5999 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( abs `  N ) ) )  =  ( 1  x.  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )
) )
26 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
27 nnuz 10414 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2826, 27syl6eleq 2456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
296lgsfcl3 20779 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  F : NN --> ZZ )
301, 3, 5, 29syl3anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  F : NN --> ZZ )
31 elfznn 10972 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  ->  x  e.  NN )
32 ffvelrn 5770 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `  x
)  e.  ZZ )
3330, 31, 32syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  ZZ )
34 zmulcl 10217 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3534adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  ZZ )
3628, 33, 35seqcl 11230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  ZZ )
3736zcnd 10269 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  CC )
3837mulid2d 9000 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  x.  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
398, 25, 383eqtrd 2402 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  / L N )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   ifcif 3654   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889    < clt 9014   -ucneg 9185   NNcn 9893   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   ...cfz 10935    seq cseq 11210   ^cexp 11269   abscabs 11926   Primecprime 12966    pCnt cpc 13097    / Lclgs 20756
This theorem is referenced by:  lgsmod  20783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-prm 12967  df-phi 13042  df-pc 13098  df-lgs 20757
  Copyright terms: Public domain W3C validator