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Theorem lhop1 19377
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If  F and  G are differentiable real functions on  ( A ,  B ), and 
F and  G both approach 0 at  A, and  G ( x ) and  G'  ( x ) are not zero on  ( A ,  B ), and the limit of  F'  ( x )  /  G'  ( x ) at  A is  C, then the limit  F ( x )  /  G ( x ) at  A also exists and equals  C. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lhop1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
lhop1.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lhop1.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.g  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.if  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.ig  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.f0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
lhop1.g0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
lhop1.gn0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
lhop1.gd0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
lhop1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
lhop1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Distinct variable groups:    z, B    ph, z    z, A    z, C    z, F    z, G

Proof of Theorem lhop1
Dummy variables  e 
d  r  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhop1.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
2 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
32rphalfcld 10418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
4 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
54imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e )  <->  ( (
y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
65rexralbidv 2600 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
76rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
83, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
9 rabid 2729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } 
<->  ( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
10 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1211simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  <  B )
1312biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  (
d  +  A )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
14 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A (,) B )  C_  RR
15 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR )
17 lhop1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR+ )
2019rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
d  e.  RR )
2216, 18, 21ltsubaddd 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  -  A )  <  d  <->  v  <  ( d  +  A ) ) )
2316rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR* )
24 lhop1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2524ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
2617ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2720, 26readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
2827rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( d  +  A
)  e.  RR* )
30 xrltmin 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  (
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( v  <  B  /\  v  < 
( d  +  A
) ) ) )
3123, 25, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
3213, 22, 313bitr4rd 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  -  A
)  <  d )
)
3318rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
34 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR* )
3525, 29, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR* )
3611simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  v )
37 elioo5 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( A  <  v  /\  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
3837baibd 875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  /\  A  <  v )  ->  ( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <->  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
3933, 35, 23, 36, 38syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
4018, 16, 36ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  v )
4118, 16, 40abssubge0d 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( abs `  (
v  -  A ) )  =  ( v  -  A ) )
4241breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( v  -  A )  <  d
) )
4332, 39, 423bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
4443rabbi2dva 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } )
4524ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
46 xrmin1 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
4745, 28, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
48 iooss2 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )  -> 
( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
4945, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B ) )
50 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B )  <->  ( ( A (,) B )  i^i  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5244, 51eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5352eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  <->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
549, 53syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  <-> 
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
55 lbioo 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
56 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
5755, 56mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  A  ->  -.  y  e.  ( A (,) B ) )
5857necon2ai 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  =/=  A )
5958biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  <->  ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) ) )
6059bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  <-> 
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d ) )
61 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  F
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  G
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) )
6361, 62oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) ) )
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )
65 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e. 
_V
6663, 64, 65fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) ) )
6766oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
)  =  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 y ) )  -  C ) )
6867fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) ) )
6968breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7060, 69imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
( x  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
7170ralbiia 2588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
72 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  y  ->  (
v  -  A )  =  ( y  -  A ) )
7372fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  y  ->  ( abs `  ( v  -  A ) )  =  ( abs `  (
y  -  A ) ) )
7473breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) )
7574ralrab 2940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7671, 75bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  {
v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
7752adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
7877raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7917ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR )
8024ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR* )
81 lhop1.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  <  B )
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  B )
83 lhop1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
8483ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
85 lhop1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8685ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  G :
( A (,) B
) --> RR )
87 lhop1.if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
8887ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  F )  =  ( A (,) B
) )
89 lhop1.ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
9089ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )
91 lhop1.f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
9291ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( F lim CC  A ) )
93 lhop1.g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
9493ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( G lim CC  A ) )
95 lhop1.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
9695ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
97 lhop1.gd0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
9897ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
991ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) lim CC  A ) )
1003adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
10179rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR* )
102 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
103102rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR )
104103, 79readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR )
105 iocssre 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR )  -> 
( A (,] (
d  +  A ) )  C_  RR )
106101, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A (,] ( d  +  A
) )  C_  RR )
10780adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  B  <_ 
( d  +  A
) )  ->  B  e.  RR* )
108103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  d  e.  RR )
10979adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  A  e.  RR )
110108, 109readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
111110rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
112107, 111ifclda 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e. 
RR* )
11379, 102ltaddrp2d 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  ( d  +  A ) )
114104rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR* )
115 xrltmin 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
116101, 80, 114, 115syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
11782, 113, 116mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )
118 xrmin2 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) )
11980, 114, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_ 
( d  +  A
) )
120 elioc1 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  ( if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A ) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
121101, 114, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A
) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
122112, 117, 119, 121mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] (
d  +  A ) ) )
123106, 122sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR )
12480, 114, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
125 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
126 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
127 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  +  ( r  / 
2 ) )  =  ( A  +  ( r  /  2 ) )
12879, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 99, 100, 123, 124, 125, 126, 127lhop1lem 19376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  (
2  x.  ( x  /  2 ) ) )
1292rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
130 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
131130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
132 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
133132a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
134129, 131, 133divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
135134adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
136128, 135breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  x
)
137136expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13878, 137sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13976, 138syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
140139expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
14154, 140sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
142141expdimp 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
143 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( F `  z )  =  ( F `  v ) )
144 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( G `  z )  =  ( G `  v ) )
145143, 144oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  (
( F `  z
)  /  ( G `
 z ) )  =  ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) ) )
146 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )
147 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e. 
_V
148145, 146, 147fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) `  v
)  =  ( ( F `  v )  /  ( G `  v ) ) )
149148oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
)  =  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )
150149fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) ) )
151150breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )  <  x ) )
152151imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
153152adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
154142, 153sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
) ) )
155154adantld 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
156155com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
157156ralrimdva 2646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
158157reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
1598, 158syld 40 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
160159ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e
)  ->  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
161160anim2d 548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) )  -> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) ) )
162 dvf 19273 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
16387feq2d 5396 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
164162, 163mpbii 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
165164ffvelrnda 5681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  z )  e.  CC )
166 dvf 19273 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
16789feq2d 5396 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR  _D  G
) --> CC  <->  ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
168166, 167mpbii 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : ( A (,) B ) --> CC )
169168ffvelrnda 5681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  CC )
17097adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
171 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B ) )
172168, 171syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
173 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
174172, 173sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
175 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  (
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G )  <->  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) ) )
176174, 175syl5ibcom 211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) ) )
177176necon3bd 2496 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  ( RR 
_D  G )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  =/=  0 ) )
178170, 177mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  =/=  0
)
179165, 169, 178divcld 9552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e.  CC )
180179, 64fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
181 ax-resscn 8810 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
18214, 181sstri 3201 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  CC
183182a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
18417recnd 8877 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
185180, 183, 184ellimc3 19245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) ) ) )
18683ffvelrnda 5681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
187186recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
18885ffvelrnda 5681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
189188recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
19095adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
191 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ( A (,) B ) --> RR  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
19285, 191syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
193 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ran  G
)
194192, 193sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  ran  G )
195 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  =  0  ->  (
( G `  z
)  e.  ran  G  <->  0  e.  ran  G ) )
196194, 195syl5ibcom 211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  G ) )
197196necon3bd 2496 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  G  -> 
( G `  z
)  =/=  0 ) )
198190, 197mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  =/=  0
)
199187, 189, 198divcld 9552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e.  CC )
200199, 146fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
201200, 183, 184ellimc3 19245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
202161, 185, 2013imtr4d 259 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) lim CC  A ) ) )
2031, 202mpd 14 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   (,]cioc 10673   abscabs 11735   lim CC climc 19228    _D cdv 19229
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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