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Theorem lhp2lt 30812
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhp2lt.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lhp2lt.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhp2lt.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhp2lt.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<  W )

Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables  s 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 982 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  P  .<_  W )
2 simp3r 984 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  Q  .<_  W )
3 simp1l 979 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 30175 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 lhp2lt.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
97, 8atbase 30101 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
106, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
11 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  Q  e.  A )
127, 8atbase 30101 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
14 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
15 lhp2lt.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
167, 15lhpbase 30809 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1714, 16syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
18 lhp2lt.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 lhp2lt.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
207, 18, 19latjle12 14184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  W  /\  Q  .<_  W )  <-> 
( P  .\/  Q
)  .<_  W ) )
215, 10, 13, 17, 20syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( P  .<_  W  /\  Q  .<_  W )  <-> 
( P  .\/  Q
)  .<_  W ) )
221, 2, 21mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  W )
2319, 18, 83dim2 30279 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
243, 6, 11, 23syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
25 simp11l 1066 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  HL )
26 hlop 30174 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2725, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  OP )
2825, 4syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  Lat )
29 simp12l 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  P  e.  A )
30 simp13l 1070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  Q  e.  A )
317, 19, 8hlatjcl 30178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3225, 29, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
33 simp2l 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  r  e.  A )
347, 8atbase 30101 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
367, 19latjcl 14172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  (
Base `  K )
)
3728, 32, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  (
Base `  K )
)
38 simp2r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  s  e.  A )
397, 8atbase 30101 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K )
)
417, 19latjcl 14172 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
)  /\  s  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s )  e.  (
Base `  K )
)
4228, 37, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s )  e.  (
Base `  K )
)
43 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
44 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
457, 43, 44ncvr1 30084 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
)  e.  ( Base `  K ) )  ->  -.  ( 1. `  K
) (  <o  `  K
) ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )
4627, 42, 45syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  -.  ( 1. `  K ) ( 
<o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) 
.\/  s ) )
47 simpl1l 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  HL )
48 hlpos 30177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  Poset )
5047, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  Lat )
51 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  P  e.  A )
52 simpl3l 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  Q  e.  A )
5347, 51, 52, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
54 simpr1l 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
r  e.  A )
5554, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
r  e.  ( Base `  K ) )
5650, 53, 55, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
) )
5747, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  K  e.  OP )
587, 43op1cl 29997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( 1. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
607, 18, 43ple1 14166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( 1. `  K )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  .<_  ( 1.
`  K ) )
6149, 56, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) 
.<_  ( 1. `  K
) )
62 simpr2l 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
637, 18, 19, 44, 8cvr1 30221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  A )  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( P  .\/  Q ) (  <o  `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )
6447, 53, 54, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( P  .\/  Q
) (  <o  `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r ) ) )
6562, 64mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
) (  <o  `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r ) )
66 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  =  W )
67 simpl1r 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  W  e.  H )
6843, 44, 15lhp1cvr 30810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
6947, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
7066, 69eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
) (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
717, 18, 44cvrcmp 30095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( 1. `  K )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) (  <o  `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  /\  ( P  .\/  Q ) ( 
<o  `  K ) ( 1. `  K ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) 
.<_  ( 1. `  K
)  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  =  ( 1. `  K ) ) )
7249, 56, 59, 53, 65, 70, 71syl132anc 1200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .<_  ( 1.
`  K )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  =  ( 1. `  K ) ) )
7361, 72mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  =  ( 1. `  K ) )
74 simpr2r 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  ->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) )
75 simpr1r 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
s  e.  A )
767, 18, 19, 44, 8cvr1 30221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  e.  ( Base `  K
)  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) (  <o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
7747, 56, 75, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) (  <o  `  K )
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )
7874, 77mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) (  <o  `  K )
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
) )
7973, 78eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  /\  ( P 
.\/  Q )  =  W ) )  -> 
( 1. `  K
) (  <o  `  K
) ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )
80793exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  =  W  ->  ( 1. `  K ) (  <o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) ) )
81803imp 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  =  W  ->  ( 1. `  K ) (  <o  `  K ) ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
8281necon3bd 2496 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( -.  ( 1. `  K ) (  <o  `  K )
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  .\/  s
)  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
) )
8346, 82mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  /\  ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
)
84833exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( r  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
) ) )
8584rexlimdvv 2686 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  W
) )
8624, 85mpd 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  =/=  W )
873, 6, 11, 31syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
88 lhp2lt.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
8918, 88pltval 14110 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  H )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .<  W  <->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  W  /\  ( P  .\/  Q )  =/=  W ) ) )
903, 87, 14, 89syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .<  W  <->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  W  /\  ( P  .\/  Q )  =/=  W ) ) )
9122, 86, 90mpbir2and 888 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  Q  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   ltcplt 14091   joincjn 14094   1.cp1 14160   Latclat 14167   OPcops 29984    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  30822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lhyp 30799
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