Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpbase Unicode version

Theorem lhpbase 30187
Description: A co-atom is a member of the lattice base set (i.e. a lattice element). (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpbase  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )

Proof of Theorem lhpbase
StepHypRef Expression
1 n0i 3460 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  -.  H  =  (/) )
2 lhpbase.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
32eqeq1i 2290 . . . 4  |-  ( H  =  (/)  <->  ( LHyp `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 295 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  -.  ( LHyp `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5519 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LHyp `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 119 . 2  |-  ( W  e.  H  ->  K  e.  _V )
7 lhpbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
9 eqid 2283 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
107, 8, 9, 2islhp 30185 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( W  e.  H  <->  ( W  e.  B  /\  W ( 
<o  `  K ) ( 1. `  K ) ) ) )
1110simprbda 606 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  B )
126, 11mpancom 650 1  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   1.cp1 14144    <o ccvr 29452   LHypclh 30173
This theorem is referenced by:  lhplt  30189  lhp2lt  30190  lhpexlt  30191  lhp0lt  30192  lhpexle  30194  lhpexnle  30195  lhpexle1  30197  lhpexle2lem  30198  lhpexle3lem  30200  lhpocnle  30205  lhpocat  30206  lhpjat1  30209  lhpjat2  30210  lhpj1  30211  lhpmcvr  30212  lhpmcvr2  30213  lhpmcvr3  30214  lhpmcvr4N  30215  lhpmcvr5N  30216  lhpmcvr6N  30217  lhpm0atN  30218  lhpmat  30219  lhpmatb  30220  lhp2at0  30221  lhpelim  30226  lhpmod2i2  30227  lhpmod6i1  30228  cdlemb2  30230  lhpat  30232  lhpat3  30235  4atexlemwb  30248  ltrnatb  30326  ltrnel  30328  ltrncnvel  30331  ltrnmw  30340  trlval2  30352  trlcl  30353  trljat1  30355  trljat2  30356  trlle  30373  trlval3  30376  cdlemc1  30380  cdlemc2  30381  cdlemc4  30383  cdlemc5  30384  cdlemc6  30385  cdlemd2  30388  cdleme0aa  30399  cdleme0b  30401  cdleme0c  30402  cdleme0cp  30403  cdleme0cq  30404  cdleme0e  30406  cdleme0fN  30407  cdlemeulpq  30409  cdleme01N  30410  cdleme0ex1N  30412  cdleme1b  30415  cdleme1  30416  cdleme2  30417  cdleme3b  30418  cdleme3c  30419  cdleme3g  30423  cdleme3h  30424  cdleme3  30426  cdleme4  30427  cdleme4a  30428  cdleme5  30429  cdleme7aa  30431  cdleme7c  30434  cdleme7d  30435  cdleme7e  30436  cdleme7ga  30437  cdleme7  30438  cdleme8  30439  cdleme9b  30441  cdleme9  30442  cdleme10  30443  cdleme11fN  30453  cdleme11g  30454  cdleme11k  30457  cdleme13  30461  cdleme15b  30464  cdleme15d  30466  cdleme15  30467  cdleme16e  30471  cdleme16f  30472  cdleme22gb  30483  cdlemedb  30486  cdlemednpq  30488  cdleme19b  30493  cdleme19c  30494  cdleme20aN  30498  cdleme20c  30500  cdleme20d  30501  cdleme20e  30502  cdleme20j  30507  cdleme21c  30516  cdleme21ct  30518  cdleme22aa  30528  cdleme22cN  30531  cdleme22d  30532  cdleme22e  30533  cdleme22eALTN  30534  cdleme22f  30535  cdleme22g  30537  cdleme23a  30538  cdleme23b  30539  cdleme23c  30540  cdleme28a  30559  cdleme28b  30560  cdleme29ex  30563  cdleme30a  30567  cdlemefr29exN  30591  cdleme32b  30631  cdleme32c  30632  cdleme32e  30634  cdleme35b  30639  cdleme35c  30640  cdleme35d  30641  cdleme35e  30642  cdleme35f  30643  cdleme42a  30660  cdleme42c  30661  cdleme42h  30671  cdleme42i  30672  cdleme48bw  30691  cdlemeg46frv  30714  cdlemeg46vrg  30716  cdlemeg46rgv  30717  cdlemeg46req  30718  cdlemf1  30750  cdlemf2  30751  trlord  30758  cdlemg2fv2  30789  cdlemg2m  30793  cdlemg7fvbwN  30796  cdlemg4  30806  cdlemg6c  30809  cdlemg10bALTN  30825  cdlemg10c  30828  cdlemg10  30830  cdlemg11b  30831  cdlemg12f  30837  cdlemg17a  30850  cdlemg17dALTN  30853  cdlemg19a  30872  cdlemg35  30902  trlcoabs2N  30911  trlcolem  30915  cdlemh2  31005  cdlemi1  31007  cdlemk3  31022  cdlemk4  31023  cdlemk9  31028  cdlemk9bN  31029  cdlemk10  31032  cdlemk39  31105  dia0eldmN  31230  dia1eldmN  31231  dia0  31242  dia1N  31243  diaglbN  31245  diaintclN  31248  dia2dimlem1  31254  dia2dimlem2  31255  dia2dimlem3  31256  dia2dimlem10  31263  dia2dimlem12  31265  cdlemm10N  31308  docaclN  31314  doca2N  31316  djajN  31327  dib0  31354  dibglbN  31356  dibintclN  31357  cdlemn2  31385  cdlemn10  31396  dihjustlem  31406  dihord1  31408  dihord2a  31409  dihord2b  31410  dihord2cN  31411  dihord11b  31412  dihord11c  31414  dihord2pre  31415  dihord2pre2  31416  dihlsscpre  31424  dib2dim  31433  dih2dimb  31434  dih2dimbALTN  31435  dihvalcq2  31437  dihopelvalcpre  31438  dihord6apre  31446  dihord5b  31449  dihord6b  31450  dihord5apre  31452  dih0  31470  dih1  31476  dihwN  31479  dihmeetlem1N  31480  dihglblem5apreN  31481  dihglblem5aN  31482  dihglblem2aN  31483  dihglblem2N  31484  dihglblem3N  31485  dihmeetlem2N  31489  dihglbcpreN  31490  dihmeetbclemN  31494  dihmeetlem3N  31495  dihmeetlem4preN  31496  dihmeetlem6  31499  dihjatc1  31501  dihmeetlem18N  31514  dih1dimatlem  31519  dihjatcclem1  31608  dihjatcclem2  31609  dihjatcclem4  31611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-lhyp 30177
  Copyright terms: Public domain W3C validator