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Theorem lhpexle3lem 30493
Description: There exists atom under a co-atom different from any 3 other atoms. TODO: study if adant*,simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpex1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpex1.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , p    A, p    H, p    K, p    W, p    X, p    Y, p    Z, p

Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 lhpex1.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lhpex1.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 lhpex1.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
52, 3, 4lhpexle2 30492 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )
7 simp31 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  .<_  W )
8 simp32 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  X )
9 simp1r 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  X  =  Y )
108, 9neeqtrd 2589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  Y )
11 simp33 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  ->  p  =/=  Z )
128, 10, 113jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  -> 
( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) )
137, 12jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z ) )  -> 
( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
14133exp 1152 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z
)  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) ) ) )
1514reximdvai 2776 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  p  =/=  X  /\  p  =/=  Z
)  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) ) )
166, 15mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
17 simp11 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
18 simp121 1089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  X  e.  A )
19 simp131 1092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  X  .<_  W )
20 simp122 1090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  Y  e.  A )
21 simp132 1093 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  Y  .<_  W )
22 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
23 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
242, 22, 23, 3, 4lhp2lt 30483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  A  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X ( join `  K ) Y ) ( lt `  K
) W )
2517, 18, 19, 20, 21, 24syl122anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( X
( join `  K ) Y ) ( lt
`  K ) W )
26 simp11l 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  K  e.  HL )
27 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2827, 23, 3hlatjcl 29849 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X ( join `  K ) Y )  e.  ( Base `  K
) )
2926, 18, 20, 28syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( X
( join `  K ) Y )  e.  (
Base `  K )
)
30 simp11r 1069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  H )
3127, 4lhpbase 30480 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3230, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3327, 2, 22, 3hlrelat1 29882 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X ( join `  K
) Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( X ( join `  K
) Y ) ( lt `  K ) W  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )
3426, 29, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( ( X ( join `  K
) Y ) ( lt `  K ) W  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )
3525, 34mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y )  /\  p  .<_  W ) )
36 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  .<_  W )
3726adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
38 hllat 29846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4027, 3atbase 29772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
4140ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
4218adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  X  e.  A )
4327, 3atbase 29772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
4520adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  A )
4627, 3atbase 29772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K )
)
48 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  -.  p  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )
4927, 2, 23latnlej1l 14453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  X )
5039, 41, 44, 47, 48, 49syl131anc 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  X )
5127, 2, 23latnlej1r 14454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Y )
5239, 41, 44, 47, 48, 51syl131anc 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  Y )
53 simpl3 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  Z  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )
54 nbrne2 4190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Z  =/=  p )
5554necomd 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  p  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Z )
5653, 48, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  p  =/=  Z )
5750, 52, 563jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  ( p  =/=  X  /\  p  =/= 
Y  /\  p  =/=  Z ) )
5836, 57jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W ) ) )  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
5958exp32 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W )  -> 
( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) ) )
6059reximdvai 2776 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y )  /\  p  .<_  W )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) )
6135, 60mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  Z  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
62613expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  /\  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
63 simp11l 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  K  e.  HL )
64 simp121 1089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  e.  A )
65 simp122 1090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Y  e.  A )
66 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  =/=  Y )
672, 23, 3hlsupr 29868 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  X  =/=  Y
)  ->  E. p  e.  A  ( p  =/=  X  /\  p  =/= 
Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) )
6863, 64, 65, 66, 67syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) )
6963adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
7069, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
7140ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
7264adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  e.  A )
7365adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  e.  A )
7469, 72, 73, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  ( X ( join `  K
) Y )  e.  ( Base `  K
) )
75 simp11r 1069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  W  e.  H )
7675adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  W  e.  H )
7776, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
78 simprr3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  .<_  ( X ( join `  K ) Y ) )
79 simp131 1092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  X  .<_  W )
8079adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  .<_  W )
81 simp132 1093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  Y  .<_  W )
8281adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  .<_  W )
8372, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
8473, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
8527, 2, 23latjle12 14446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W )  <-> 
( X ( join `  K ) Y ) 
.<_  W ) )
8670, 83, 84, 77, 85syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W )  <->  ( X
( join `  K ) Y )  .<_  W ) )
8780, 82, 86mpbi2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  ( X ( join `  K
) Y )  .<_  W )
8827, 2, 70, 71, 74, 77, 78, 87lattrd 14442 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  .<_  W )
89 simprr1 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  X )
90 simprr2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  Y )
91 simpl3 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )
92 nbrne2 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .<_  ( X
( join `  K ) Y )  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  p  =/=  Z )
9378, 91, 92syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  p  =/=  Z )
9489, 90, 933jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z ) )
9588, 94jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) ) ) )  ->  (
p  .<_  W  /\  (
p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z ) ) )
9695exp32 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  -> 
( p  e.  A  ->  ( ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) ) )
9796reximdvai 2776 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  -> 
( E. p  e.  A  ( p  =/= 
X  /\  p  =/=  Y  /\  p  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) ) )
9868, 97mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y  /\  -.  Z  .<_  ( X (
join `  K ) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
99983expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  /\  -.  Z  .<_  ( X ( join `  K
) Y ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
10062, 99pm2.61dan 767 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  /\  X  =/=  Y )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/=  Z
) ) )
10116, 100pm2.61dane 2645 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A  /\  Z  e.  A )  /\  ( X  .<_  W  /\  Y  .<_  W  /\  Z  .<_  W ) )  ->  E. p  e.  A  ( p  .<_  W  /\  ( p  =/=  X  /\  p  =/=  Y  /\  p  =/= 
Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   ltcplt 14353   joincjn 14356   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466
This theorem is referenced by:  lhpexle3  30494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lhyp 30470
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