Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexnle Structured version   Unicode version

Theorem lhpexnle 30805
Description: There exists an atom not under a co-atom. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2a.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhp2a.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhp2a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpexnle  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Distinct variable groups:    A, p    H, p    K, p    .<_ , p    W, p

Proof of Theorem lhpexnle
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 lhp2a.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhp1cvr 30798 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W (  <o  `  K
) ( 1. `  K ) )
5 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  HL )
6 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
76, 3lhpbase 30797 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
87adantl 454 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
9 hlop 30162 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
106, 1op1cl 29985 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )
1211adantr 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( 1. `  K
)  e.  ( Base `  K ) )
13 lhp2a.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
15 lhp2a.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
166, 13, 14, 2, 15cvrval3 30212 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  ( Base `  K )  /\  ( 1. `  K )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( W (  <o  `  K
) ( 1. `  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
175, 8, 12, 16syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) ) ) )
184, 17mpbid 203 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W (
join `  K )
p )  =  ( 1. `  K ) ) )
19 simpl 445 . . 3  |-  ( ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  -.  p  .<_  W )
2019reximi 2815 . 2  |-  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  ( W ( join `  K
) p )  =  ( 1. `  K
) )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
2118, 20syl 16 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   joincjn 14403   1.cp1 14469   OPcops 29972    <o ccvr 30062   Atomscatm 30063   HLchlt 30150   LHypclh 30783
This theorem is referenced by:  trlcnv  30964  trlator0  30970  trlid0  30975  trlnidatb  30976  cdlemf2  31361  cdlemg1cex  31387  trlco  31526  cdlemg44  31532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 29976  df-ol 29978  df-oml 29979  df-covers 30066  df-ats 30067  df-atl 30098  df-cvlat 30122  df-hlat 30151  df-lhyp 30787
  Copyright terms: Public domain W3C validator