Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpjat2 Structured version   Unicode version

Theorem lhpjat2 30892
Description: The join of a co-atom (hyperplane) and an atom not under it is the lattice unit. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpjat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpjat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpjat.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
lhpjat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpjat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpjat2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  .1.  )

Proof of Theorem lhpjat2
StepHypRef Expression
1 hllat 30235 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lhpjat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atbase 30161 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
65ad2antrl 710 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
7 lhpjat.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
83, 7lhpbase 30869 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
98ad2antlr 709 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
10 lhpjat.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
113, 10latjcom 14493 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( W  .\/  P
) )
122, 6, 9, 11syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( W 
.\/  P ) )
13 lhpjat.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 lhpjat.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
1513, 10, 14, 4, 7lhpjat1 30891 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  P
)  =  .1.  )
1612, 15eqtrd 2470 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   joincjn 14406   1.cp1 14472   Latclat 14479   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LHypclh 30855
This theorem is referenced by:  lhpmcvr3  30896  cdleme0cp  31085  cdleme0cq  31086  cdleme1  31098  cdleme4  31109  cdleme5  31111  cdleme8  31121  cdleme9  31124  cdleme10  31125  cdleme22e  31215  cdleme22eALTN  31216  cdleme35b  31321  cdleme35e  31324  cdleme42a  31342  trlcoabs2N  31593  cdlemi1  31689  cdlemk4  31705  dia2dimlem1  31936  cdlemn10  32078  dihglbcpreN  32172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-lhyp 30859
  Copyright terms: Public domain W3C validator