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Theorem lhpmcvr4N 30823
Description: Specialization of lhpmcvr2 30821. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpmcvr2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpmcvr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpmcvr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhpmcvr2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpmcvr2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  Y )

Proof of Theorem lhpmcvr4N
StepHypRef Expression
1 simp2rr 1027 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  W )
2 simp33 995 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  .<_  X )
3 simp1l 981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 30161 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp2rl 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  e.  A )
7 lhpmcvr2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 lhpmcvr2.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
97, 8atbase 30087 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
106, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  e.  B )
11 simp2ll 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  X  e.  B )
12 simp31 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  Y  e.  B )
13 lhpmcvr2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 lhpmcvr2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
157, 13, 14latlem12 14507 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  <->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
165, 10, 11, 12, 15syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  <->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
1716biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  ->  P  .<_  ( X  ./\  Y
) ) )
182, 17mpand 657 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  Y  ->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
19 simp32 994 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
207, 14latmcl 14480 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
215, 11, 12, 20syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
22 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  W  e.  H )
23 lhpmcvr2.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
247, 23lhpbase 30795 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  W  e.  B )
267, 13lattr 14485 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( ( P  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
275, 10, 21, 25, 26syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
2819, 27mpan2d 656 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  ( X  ./\  Y
)  ->  P  .<_  W ) )
2918, 28syld 42 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  Y  ->  P  .<_  W ) )
301, 29mtod 170 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   meetcmee 14402   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781
This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  30824  dihmeetlem17N  32121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-glb 14432  df-meet 14434  df-lat 14475  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lhyp 30785
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