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Theorem lhpmcvr4N 30837
Description: Specialization of lhpmcvr2 30835. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpmcvr2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpmcvr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpmcvr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhpmcvr2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpmcvr2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  Y )

Proof of Theorem lhpmcvr4N
StepHypRef Expression
1 simp2rr 1025 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  W )
2 simp33 993 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  .<_  X )
3 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 30175 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp2rl 1024 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  e.  A )
7 lhpmcvr2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 lhpmcvr2.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
97, 8atbase 30101 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
106, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  P  e.  B )
11 simp2ll 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  X  e.  B )
12 simp31 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  Y  e.  B )
13 lhpmcvr2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 lhpmcvr2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
157, 13, 14latlem12 14200 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  <->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
165, 10, 11, 12, 15syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  <->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
1716biimpd 198 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  X  /\  P  .<_  Y )  ->  P  .<_  ( X  ./\  Y
) ) )
182, 17mpand 656 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  Y  ->  P  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
19 simp32 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  W )
207, 14latmcl 14173 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
215, 11, 12, 20syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
22 simp1r 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  W  e.  H )
23 lhpmcvr2.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
247, 23lhpbase 30809 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2522, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  W  e.  B )
267, 13lattr 14178 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( ( P  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
275, 10, 21, 25, 26syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( ( P  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  W )  ->  P  .<_  W ) )
2819, 27mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  ( X  ./\  Y
)  ->  P  .<_  W ) )
2918, 28syld 40 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  ( P  .<_  Y  ->  P  .<_  W ) )
301, 29mtod 168 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  W  /\  P  .<_  X ) )  ->  -.  P  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  30838  dihmeetlem17N  32135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-glb 14125  df-meet 14127  df-lat 14168  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lhyp 30799
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