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Theorem lhpmod2i2 30203
Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 30027 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpmod.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpmod.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpmod.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhpmod.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpmod2i2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem lhpmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
2 simp1r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  W  e.  H )
3 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
4 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 lhpmod.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
63, 4, 5lhpocat 30182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Atoms `  K ) )
71, 2, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Atoms `  K )
)
8 hlop 29528 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  OP )
10 simp2l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  X  e.  B )
11 lhpmod.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
1211, 3opoccl 29360 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
139, 10, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  e.  B )
14 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  e.  B )
1511, 3opoccl 29360 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
169, 14, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  Y )  e.  B )
17 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  .<_  X )
18 lhpmod.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
1911, 18, 3oplecon3b 29366 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .<_  X  <->  ( ( oc `  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
209, 14, 10, 19syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( Y  .<_  X  <->  ( ( oc `  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
2117, 20mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `  Y
) )
22 lhpmod.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
23 lhpmod.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2411, 18, 22, 23, 4atmod1i2 30024 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  /\  ( ( oc
`  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )
251, 7, 13, 16, 21, 24syl131anc 1197 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
26 hllat 29529 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
271, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  Lat )
2811, 5lhpbase 30163 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
292, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  W  e.  B )
3011, 23latmcl 14400 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
3127, 10, 29, 30syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
3211, 22latjcl 14399 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  e.  B )
3327, 31, 14, 32syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  e.  B )
3411, 22latjcl 14399 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( W  .\/  Y
)  e.  B )
3527, 29, 14, 34syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( W  .\/  Y )  e.  B )
3611, 23latmcl 14400 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( W  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B )
3727, 10, 35, 36syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B
)
3811, 3opcon3b 29362 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  ( W 
.\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `
 ( ( X 
./\  W )  .\/  Y ) ) ) )
399, 33, 37, 38syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  ( W 
.\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `
 ( ( X 
./\  W )  .\/  Y ) ) ) )
40 hlol 29527 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
411, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  OL )
4211, 22, 23, 3oldmm1 29383 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  ( W  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) ) ) )
4341, 10, 35, 42syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y
) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) ) ) )
4411, 22, 23, 3oldmj1 29387 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( W  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
4541, 29, 14, 44syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
4645oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )
4743, 46eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y
) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( ( oc `  K ) `  W
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
4811, 22, 23, 3oldmj1 29387 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )
4941, 31, 14, 48syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )
5011, 22, 23, 3oldmm1 29383 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
5141, 10, 29, 50syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\ 
W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
5251oveq1d 6028 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
5349, 52eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )
5447, 53eqeq12d 2394 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )
)  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5539, 54bitrd 245 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5625, 55mpbird 224 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   lecple 13456   occoc 13457   joincjn 14321   meetcmee 14322   Latclat 14394   OPcops 29338   OLcol 29340   Atomscatm 29429   HLchlt 29516   LHypclh 30149
This theorem is referenced by:  cdleme30a  30543  trlcolem  30891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153
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