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Theorem lhpmod2i2 30773
Description: Modular law for hyperplanes analogous to atmod2i2 30597 for atoms. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmod.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpmod.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhpmod.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lhpmod.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhpmod.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpmod2i2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem lhpmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
2 simp1r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  W  e.  H )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 lhpmod.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
63, 4, 5lhpocat 30752 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( oc `  K ) `  W
)  e.  ( Atoms `  K ) )
71, 2, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  W )  e.  ( Atoms `  K )
)
8 hlop 30098 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  OP )
10 simp2l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  X  e.  B )
11 lhpmod.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
1211, 3opoccl 29930 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
139, 10, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  e.  B )
14 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  e.  B )
1511, 3opoccl 29930 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
169, 14, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  Y )  e.  B )
17 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  Y  .<_  X )
18 lhpmod.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
1911, 18, 3oplecon3b 29936 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .<_  X  <->  ( ( oc `  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
209, 14, 10, 19syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( Y  .<_  X  <->  ( ( oc `  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
2117, 20mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `  Y
) )
22 lhpmod.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
23 lhpmod.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2411, 18, 22, 23, 4atmod1i2 30594 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  /\  ( ( oc
`  K ) `  X )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 Y ) )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )
251, 7, 13, 16, 21, 24syl131anc 1197 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
26 hllat 30099 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
271, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  Lat )
2811, 5lhpbase 30733 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
292, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  W  e.  B )
3011, 23latmcl 14473 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
3127, 10, 29, 30syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
3211, 22latjcl 14472 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  e.  B )
3327, 31, 14, 32syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  e.  B )
3411, 22latjcl 14472 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( W  .\/  Y
)  e.  B )
3527, 29, 14, 34syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( W  .\/  Y )  e.  B )
3611, 23latmcl 14473 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( W  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B )
3727, 10, 35, 36syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B
)
3811, 3opcon3b 29932 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  ( W 
.\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `
 ( ( X 
./\  W )  .\/  Y ) ) ) )
399, 33, 37, 38syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  ( W 
.\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `
 ( ( X 
./\  W )  .\/  Y ) ) ) )
40 hlol 30097 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
411, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  K  e.  OL )
4211, 22, 23, 3oldmm1 29953 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  ( W  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) ) ) )
4341, 10, 35, 42syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y
) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) ) ) )
4411, 22, 23, 3oldmj1 29957 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( W  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
4541, 29, 14, 44syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( W  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
4645oveq2d 6090 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( (
( oc `  K
) `  W )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) ) )
4743, 46eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y
) ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( ( oc `  K ) `  W
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
4811, 22, 23, 3oldmj1 29957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  W )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )
4941, 31, 14, 48syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) ) )
5011, 22, 23, 3oldmm1 29953 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) ) )
5141, 10, 29, 50syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\ 
W ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
) )
5251oveq1d 6089 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  W ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )  =  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  W
) )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
5349, 52eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  W )  .\/  Y ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )
5447, 53eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )  =  ( ( oc `  K ) `  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )
)  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5539, 54bitrd 245 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( ( X  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) )  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( ( oc
`  K ) `  W )  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  W )
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5625, 55mpbird 224 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  W
)  .\/  Y )  =  ( X  ./\  ( W  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462   lecple 13529   occoc 13530   joincjn 14394   meetcmee 14395   Latclat 14467   OPcops 29908   OLcol 29910   Atomscatm 29999   HLchlt 30086   LHypclh 30719
This theorem is referenced by:  cdleme30a  31113  trlcolem  31461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-undef 6536  df-riota 6542  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-padd 30531  df-lhyp 30723
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