Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc Unicode version

Theorem lhpoc 29576
Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )

Proof of Theorem lhpoc
StepHypRef Expression
1 lhpoc.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
3 eqid 2283 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 lhpoc.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
51, 2, 3, 4islhp2 29559 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  W (  <o  `  K )
( 1. `  K
) ) )
6 lhpoc.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
7 lhpoc.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 2, 6, 3, 71cvrco 29034 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  (  ._|_  `  W )  e.  A
) )
95, 8bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   occoc 13216   1.cp1 14144    <o ccvr 28825   Atomscatm 28826   HLchlt 28913   LHypclh 29546
This theorem is referenced by:  lhpoc2N  29577  lhpocnle  29578  lhpocat  29579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-p0 14145  df-p1 14146  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-hlat 28914  df-lhyp 29550
  Copyright terms: Public domain W3C validator