Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc Structured version   Unicode version

Theorem lhpoc 30748
Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )

Proof of Theorem lhpoc
StepHypRef Expression
1 lhpoc.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
3 eqid 2435 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 lhpoc.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
51, 2, 3, 4islhp2 30731 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  W (  <o  `  K )
( 1. `  K
) ) )
6 lhpoc.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
7 lhpoc.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 2, 6, 3, 71cvrco 30206 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  (  ._|_  `  W )  e.  A
) )
95, 8bitrd 245 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13461   occoc 13529   1.cp1 14459    <o ccvr 29997   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   LHypclh 30718
This theorem is referenced by:  lhpoc2N  30749  lhpocnle  30750  lhpocat  30751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-p0 14460  df-p1 14461  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-hlat 30086  df-lhyp 30722
  Copyright terms: Public domain W3C validator