Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc Unicode version

Theorem lhpoc 30130
Description: The orthocomplement of a co-atom (lattice hyperplane) is an atom. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )

Proof of Theorem lhpoc
StepHypRef Expression
1 lhpoc.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2389 . . 3  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
3 eqid 2389 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 lhpoc.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
51, 2, 3, 4islhp2 30113 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  W (  <o  `  K )
( 1. `  K
) ) )
6 lhpoc.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
7 lhpoc.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 2, 6, 3, 71cvrco 29588 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W (  <o  `  K ) ( 1.
`  K )  <->  (  ._|_  `  W )  e.  A
) )
95, 8bitrd 245 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   ` cfv 5396   Basecbs 13398   occoc 13466   1.cp1 14396    <o ccvr 29379   Atomscatm 29380   HLchlt 29467   LHypclh 30100
This theorem is referenced by:  lhpoc2N  30131  lhpocnle  30132  lhpocat  30133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-undef 6481  df-riota 6487  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-p0 14397  df-p1 14398  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-hlat 29468  df-lhyp 30104
  Copyright terms: Public domain W3C validator