Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc2N Unicode version

Theorem lhpoc2N 30275
Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc2N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )

Proof of Theorem lhpoc2N
StepHypRef Expression
1 hlop 29623 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2 lhpoc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lhpoc.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
42, 3opoccl 29455 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
51, 4sylan 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
6 lhpoc.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 lhpoc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
82, 3, 6, 7lhpoc 30274 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  W )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  W )  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
95, 8syldan 456 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  W
)  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
102, 3opococ 29456 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
111, 10sylan 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
1211eleq1d 2432 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A  <->  W  e.  A ) )
139, 12bitr2d 245 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358   Basecbs 13356   occoc 13424   OPcops 29433   Atomscatm 29524   HLchlt 29611   LHypclh 30244
This theorem is referenced by:  lhprelat3N  30300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-undef 6440  df-riota 6446  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-p0 14355  df-p1 14356  df-oposet 29437  df-ol 29439  df-oml 29440  df-covers 29527  df-ats 29528  df-hlat 29612  df-lhyp 30248
  Copyright terms: Public domain W3C validator