Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc2N Unicode version

Theorem lhpoc2N 30509
Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc2N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )

Proof of Theorem lhpoc2N
StepHypRef Expression
1 hlop 29857 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2 lhpoc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lhpoc.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
42, 3opoccl 29689 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
51, 4sylan 458 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
6 lhpoc.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 lhpoc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
82, 3, 6, 7lhpoc 30508 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  W )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  W )  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
95, 8syldan 457 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  W
)  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
102, 3opococ 29690 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
111, 10sylan 458 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
1211eleq1d 2478 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A  <->  W  e.  A ) )
139, 12bitr2d 246 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421   Basecbs 13432   occoc 13500   OPcops 29667   Atomscatm 29758   HLchlt 29845   LHypclh 30478
This theorem is referenced by:  lhprelat3N  30534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-undef 6510  df-riota 6516  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-p0 14431  df-p1 14432  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-hlat 29846  df-lhyp 30482
  Copyright terms: Public domain W3C validator