Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpoc2N Structured version   Unicode version

Theorem lhpoc2N 30886
Description: The orthocomplement of an atom is a co-atom (lattice hyperplane). (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpoc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhpoc.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpoc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpoc.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpoc2N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )

Proof of Theorem lhpoc2N
StepHypRef Expression
1 hlop 30234 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
2 lhpoc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lhpoc.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
42, 3opoccl 30066 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
51, 4sylan 459 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
6 lhpoc.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 lhpoc.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
82, 3, 6, 7lhpoc 30885 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  W )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  W )  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
95, 8syldan 458 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  W
)  e.  H  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A ) )
102, 3opococ 30067 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
111, 10sylan 459 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  =  W )
1211eleq1d 2504 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  W ) )  e.  A  <->  W  e.  A ) )
139, 12bitr2d 247 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( W  e.  A  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457   Basecbs 13474   occoc 13542   OPcops 30044   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LHypclh 30855
This theorem is referenced by:  lhprelat3N  30911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-p0 14473  df-p1 14474  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-hlat 30223  df-lhyp 30859
  Copyright terms: Public domain W3C validator