Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocat Unicode version

Theorem lhpocat 30828
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocat.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
lhpocat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lhpocat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhpocat  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  A )

Proof of Theorem lhpocat
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  H )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 lhpocat.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3lhpbase 30809 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
5 lhpocat.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
6 lhpocat.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
72, 5, 6, 3lhpoc 30825 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )
84, 7sylan2 460 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( W  e.  H  <->  ( 
._|_  `  W )  e.  A ) )
91, 8mpbid 201 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271   Basecbs 13164   occoc 13232   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  lhpocnel  30829  lhpmod2i2  30849  lhpmod6i1  30850  dihat  32147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-p0 14161  df-p1 14162  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-hlat 30163  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator