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Theorem lhprelat3N 30229
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic with respect to co-atoms (lattice hyperplanes). Dual version of hlrelat3 29601. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhprelat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lhprelat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lhprelat3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lhprelat3.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lhprelat3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lhprelat3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
lhprelat3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
Distinct variable groups:    w, C    w, H    w, K    w,  .<_    w,  ./\    w, X    w, Y
Allowed substitution hints:    B( w)    .< ( w)

Proof of Theorem lhprelat3N
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  K  e.  HL )
2 hlop 29552 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  K  e.  OP )
4 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  Y  e.  B
)
5 lhprelat3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
75, 6opoccl 29384 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
83, 4, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  e.  B
)
9 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  e.  B
)
105, 6opoccl 29384 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
113, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  X )  e.  B
)
12 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<  Y )
13 lhprelat3.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
145, 13, 6opltcon3b 29394 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( ( oc `  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
) )
153, 9, 4, 14syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( X  .<  Y  <-> 
( ( oc `  K ) `  Y
)  .<  ( ( oc
`  K ) `  X ) ) )
1612, 15mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( ( oc
`  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
)
17 lhprelat3.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
19 lhprelat3.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
20 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
215, 17, 13, 18, 19, 20hlrelat3 29601 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )  /\  ( ( oc
`  K ) `  Y )  .<  (
( oc `  K
) `  X )
)  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )
221, 8, 11, 16, 21syl31anc 1185 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K ) ( ( ( oc `  K ) `  Y
) C ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )
23 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
24 simpll1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
255, 20atbase 29479 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  B )
2625adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  p  e.  B )
27 lhprelat3.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
285, 6, 20, 27lhpoc2N 30204 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  B )  ->  ( p  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  H
) )
2924, 26, 28syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( ( oc `  K
) `  p )  e.  H ) )
3023, 29mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  H
)
3130adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( ( oc `  K ) `  p
)  e.  H )
3224, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  OP )
33 hllat 29553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3424, 33syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  Lat )
35 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  B )
365, 6opoccl 29384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OP  /\  p  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  B )
3732, 26, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  p )  e.  B
)
38 lhprelat3.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ./\  =  ( meet `  K )
395, 38latmcl 14157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  B )  ->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) )  e.  B
)
4034, 35, 37, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) )  e.  B
)
415, 6, 19cvrcon3b 29467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
) C Y  <->  ( ( oc `  K ) `  Y ) C ( ( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) ) ) )
4232, 40, 35, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) C Y  <->  ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) ) ) )
43 hlol 29551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
4424, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  OL )
455, 18, 38, 6oldmm3N 29409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p ) )
4644, 35, 26, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  =  ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p ) )
4746breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( oc
`  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  <->  ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p ) ) )
4842, 47bitr2d 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  <->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) )
49 simpll2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X  e.  B )
505, 17, 6oplecon3b 29390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) )  e.  B )  -> 
( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  <->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X ) ) )
5132, 49, 40, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( X  .<_  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
)  <->  ( ( oc
`  K ) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X ) ) )
5246breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( oc `  K
) `  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
)  <->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 X ) ) )
5351, 52bitr2d 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
)  <->  X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) ) )
5448, 53anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( oc `  K ) `  Y
) C ( ( ( oc `  K
) `  Y )
( join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) )  <->  ( ( Y  ./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) C Y  /\  X  .<_  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p ) ) ) ) )
5554biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y  /\  X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) ) ) )
5655ancomd 438 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  -> 
( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) C Y ) )
57 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  ( Y  ./\  w )  =  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
) )
5857breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  ( X  .<_  ( Y  ./\  w )  <->  X  .<_  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p ) ) ) )
5957breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  (
( Y  ./\  w
) C Y  <->  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) )
6058, 59anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( oc
`  K ) `  p )  ->  (
( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y )  <->  ( X  .<_  ( Y  ./\  (
( oc `  K
) `  p )
)  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `  p
) ) C Y ) ) )
6160rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( ( oc `  K ) `  p
)  e.  H  /\  ( X  .<_  ( Y 
./\  ( ( oc
`  K ) `  p ) )  /\  ( Y  ./\  ( ( oc `  K ) `
 p ) ) C Y ) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
6231, 56, 61syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( (
( oc `  K
) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  /\  (
( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  .<_  ( ( oc `  K ) `  X
) ) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
6362exp31 587 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) C ( ( ( oc
`  K ) `  Y ) ( join `  K ) p )  /\  ( ( ( oc `  K ) `
 Y ) (
join `  K )
p )  .<_  ( ( oc `  K ) `
 X ) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) ) ) )
6463rexlimdv 2666 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )
( ( ( oc
`  K ) `  Y ) C ( ( ( oc `  K ) `  Y
) ( join `  K
) p )  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y ) ( join `  K ) p ) 
.<_  ( ( oc `  K ) `  X
) )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y  ./\  w
)  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) ) )
6522, 64mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. w  e.  H  ( X  .<_  ( Y 
./\  w )  /\  ( Y  ./\  w ) C Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   occoc 13216   ltcplt 14075   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   OPcops 29362   OLcol 29364    <o ccvr 29452   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-lhyp 30177
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