MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidl1el Unicode version

Theorem lidl1el 16244
Description: An ideal contains 1 iff it is the unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lidl1el.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
lidl1el  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (  .1.  e.  I  <->  I  =  B ) )

Proof of Theorem lidl1el
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 lidlcl.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2lidlssOLD 16236 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  C_  B )
43adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  .1.  e.  I
)  ->  I  C_  B
)
5 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 lidl1el.o . . . . . . . . 9  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
71, 5, 6rngridm 15643 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  B )  ->  (
a ( .r `  R )  .1.  )  =  a )
87ad2ant2rl 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  (  .1.  e.  I  /\  a  e.  B
) )  ->  (
a ( .r `  R )  .1.  )  =  a )
92, 1, 5lidlmcl 16243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( a  e.  B  /\  .1.  e.  I ) )  -> 
( a ( .r
`  R )  .1.  )  e.  I )
109ancom2s 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  (  .1.  e.  I  /\  a  e.  B
) )  ->  (
a ( .r `  R )  .1.  )  e.  I )
118, 10eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  (  .1.  e.  I  /\  a  e.  B
) )  ->  a  e.  I )
1211expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  .1.  e.  I
)  ->  ( a  e.  B  ->  a  e.  I ) )
1312ssrdv 3314 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  .1.  e.  I
)  ->  B  C_  I
)
144, 13eqssd 3325 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  .1.  e.  I
)  ->  I  =  B )
1514ex 424 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (  .1.  e.  I  ->  I  =  B ) )
161, 6rngidcl 15639 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
1716adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  .1.  e.  B )
18 eleq2 2465 . . 3  |-  ( I  =  B  ->  (  .1.  e.  I  <->  .1.  e.  B ) )
1917, 18syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
I  =  B  ->  .1.  e.  I ) )
2015, 19impbid 184 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (  .1.  e.  I  <->  I  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   Ringcrg 15615   1rcur 15617  LIdealclidl 16197
This theorem is referenced by:  rsp1  16250  drngnidl  16255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201
  Copyright terms: Public domain W3C validator