MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlacl Structured version   Unicode version

Theorem lidlacl 16289
Description: An ideal is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlacl  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  I )

Proof of Theorem lidlacl
StepHypRef Expression
1 lidlacl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2 rlmplusg 16273 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
31, 2eqtri 2458 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
43oveqi 6097 . 2  |-  ( X 
.+  Y )  =  ( X ( +g  `  (ringLMod `  R )
) Y )
5 rlmlmod 16281 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (ringLMod `  R )  e.  LMod )
7 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  U )
8 lidlcl.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  R )
9 lidlval 16270 . . . . . 6  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
108, 9eqtri 2458 . . . . 5  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
117, 10syl6eleq 2528 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) )
126, 11jca 520 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
(ringLMod `  R )  e. 
LMod  /\  I  e.  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) ) )
13 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  (ringLMod `  R )
)  =  ( +g  `  (ringLMod `  R )
)
14 eqid 2438 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (ringLMod `  R )
)  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R )
)
1513, 14lssvacl 16035 . . 3  |-  ( ( ( (ringLMod `  R
)  e.  LMod  /\  I  e.  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I
) )  ->  ( X ( +g  `  (ringLMod `  R ) ) Y )  e.  I )
1612, 15sylan 459 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X ( +g  `  (ringLMod `  R )
) Y )  e.  I )
174, 16syl5eqel 2522 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   +g cplusg 13534   Ringcrg 15665   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013  ringLModcrglmod 16246  LIdealclidl 16247
This theorem is referenced by:  lidlsubg  16291  lidlsubcl  16292  zlpirlem3  16775  hbtlem2  27319  hbtlem5  27323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251
  Copyright terms: Public domain W3C validator