Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Unicode version

Theorem lidldvgen 16328
 Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b
lidldvgen.u LIdeal
lidldvgen.k RSpan
lidldvgen.d r
Assertion
Ref Expression
lidldvgen
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . . 6
2 simp3 960 . . . . . . 7
32snssd 3945 . . . . . 6
4 lidldvgen.k . . . . . . 7 RSpan
5 lidldvgen.b . . . . . . 7
64, 5rspssid 16296 . . . . . 6
71, 3, 6syl2anc 644 . . . . 5
8 snssg 3934 . . . . . 6
983ad2ant3 981 . . . . 5
107, 9mpbird 225 . . . 4
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10 r
125, 4, 11rspsn 16327 . . . . . . . . 9
13123adant2 977 . . . . . . . 8
1413eleq2d 2505 . . . . . . 7
15 vex 2961 . . . . . . . 8
16 breq2 4218 . . . . . . . 8
1715, 16elab 3084 . . . . . . 7
1814, 17syl6bb 254 . . . . . 6
1918biimpd 200 . . . . 5
2019ralrimiv 2790 . . . 4
2110, 20jca 520 . . 3
22 eleq2 2499 . . . 4
23 raleq 2906 . . . 4
2422, 23anbi12d 693 . . 3
2521, 24syl5ibrcom 215 . 2
26 df-ral 2712 . . . . . . . 8
27 ssab 3415 . . . . . . . 8
2826, 27bitr4i 245 . . . . . . 7
2928biimpi 188 . . . . . 6
3029ad2antll 711 . . . . 5
315, 4, 11rspsn 16327 . . . . . . 7
32313adant2 977 . . . . . 6
3332adantr 453 . . . . 5
3430, 33sseqtr4d 3387 . . . 4
35 simpl1 961 . . . . . 6
36 simpl2 962 . . . . . 6
37 snssi 3944 . . . . . . 7
3837adantl 454 . . . . . 6
39 lidldvgen.u . . . . . . 7 LIdeal
404, 39rspssp 16299 . . . . . 6
4135, 36, 38, 40syl3anc 1185 . . . . 5
4241adantrr 699 . . . 4
4334, 42eqssd 3367 . . 3
4443ex 425 . 2
4525, 44impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4214  cfv 5456  cbs 13471  crg 15662  rcdsr 15745  LIdealclidl 16244  RSpancrsp 16245 This theorem is referenced by:  lpigen  16329  ig1prsp  20102 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-dvdsr 15748  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249
 Copyright terms: Public domain W3C validator