MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Unicode version

Theorem lidldvgen 16328
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lidldvgen.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidldvgen.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
lidldvgen.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
lidldvgen  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, U    x, B    x,  .||    x, R    x, I    x, K    x, G

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
32snssd 3945 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  B )
4 lidldvgen.k . . . . . . 7  |-  K  =  (RSpan `  R )
5 lidldvgen.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
64, 5rspssid 16296 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  { G }  C_  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
71, 3, 6syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
8 snssg 3934 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
983ad2ant3 981 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
107, 9mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( K `  { G } ) )
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10  |-  .||  =  (
||r `  R )
125, 4, 11rspsn 16327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
13123adant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
1413eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  x  e.  { y  |  G  .||  y } ) )
15 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
16 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( G  .||  y  <->  G  .||  x ) )
1715, 16elab 3084 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  |  G  .||  y }  <->  G 
.||  x )
1814, 17syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
1918biimpd 200 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  ->  G  .||  x ) )
2019ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
2110, 20jca 520 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
22 eleq2 2499 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( G  e.  I  <->  G  e.  ( K `  { G } ) ) )
23 raleq 2906 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
2422, 23anbi12d 693 . . 3  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  <-> 
( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
) )
2521, 24syl5ibrcom 215 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  ->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
26 df-ral 2712 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
27 ssab 3415 . . . . . . . 8  |-  ( I 
C_  { x  |  G  .||  x }  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
2826, 27bitr4i 245 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
2928biimpi 188 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
3029ad2antll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
315, 4, 11rspsn 16327 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
32313adant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
3332adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  =  { x  |  G  .||  x } )
3430, 33sseqtr4d 3387 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  ( K `  { G } ) )
35 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
36 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  I  e.  U )
37 snssi 3944 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  I  ->  { G }  C_  I )
3837adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  { G }  C_  I )
39 lidldvgen.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
404, 39rspssp 16299 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  { G }  C_  I )  -> 
( K `  { G } )  C_  I
)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  ( K `  { G } ) 
C_  I )
4241adantrr 699 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  C_  I )
4334, 42eqssd 3367 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  =  ( K `  { G } ) )
4443ex 425 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  ->  I  =  ( K `  { G } ) ) )
4525, 44impbid 185 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Basecbs 13471   Ringcrg 15662   ||rcdsr 15745  LIdealclidl 16244  RSpancrsp 16245
This theorem is referenced by:  lpigen  16329  ig1prsp  20102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-dvdsr 15748  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249
  Copyright terms: Public domain W3C validator