MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Unicode version

Theorem lidldvgen 16007
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lidldvgen.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidldvgen.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
lidldvgen.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
lidldvgen  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, U    x, B    x,  .||    x, R    x, I    x, K    x, G

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
32snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  B )
4 lidldvgen.k . . . . . . 7  |-  K  =  (RSpan `  R )
5 lidldvgen.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
64, 5rspssid 15975 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  { G }  C_  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
71, 3, 6syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
8 snssg 3754 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
983ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
107, 9mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( K `  { G } ) )
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10  |-  .||  =  (
||r `  R )
125, 4, 11rspsn 16006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
13123adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
1413eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  x  e.  { y  |  G  .||  y } ) )
15 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
16 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( G  .||  y  <->  G  .||  x ) )
1715, 16elab 2914 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  |  G  .||  y }  <->  G 
.||  x )
1814, 17syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
1918biimpd 198 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  ->  G  .||  x ) )
2019ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
2110, 20jca 518 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
22 eleq2 2344 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( G  e.  I  <->  G  e.  ( K `  { G } ) ) )
23 raleq 2736 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
2422, 23anbi12d 691 . . 3  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  <-> 
( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
) )
2521, 24syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  ->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
26 df-ral 2548 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
27 ssab 3243 . . . . . . . 8  |-  ( I 
C_  { x  |  G  .||  x }  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
2826, 27bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
2928biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
3029ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
315, 4, 11rspsn 16006 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
32313adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  =  { x  |  G  .||  x } )
3430, 33sseqtr4d 3215 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  ( K `  { G } ) )
35 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
36 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  I  e.  U )
37 snssi 3759 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  I  ->  { G }  C_  I )
3837adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  { G }  C_  I )
39 lidldvgen.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
404, 39rspssp 15978 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  { G }  C_  I )  -> 
( K `  { G } )  C_  I
)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  ( K `  { G } ) 
C_  I )
4241adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  C_  I )
4334, 42eqssd 3196 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  =  ( K `  { G } ) )
4443ex 423 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  ->  I  =  ( K `  { G } ) ) )
4525, 44impbid 183 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   Ringcrg 15337   ||rcdsr 15420  LIdealclidl 15923  RSpancrsp 15924
This theorem is referenced by:  lpigen  16008  ig1prsp  19563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-dvdsr 15423  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928
  Copyright terms: Public domain W3C validator