MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Unicode version

Theorem lidldvgen 16023
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lidldvgen.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidldvgen.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
lidldvgen.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
lidldvgen  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, U    x, B    x,  .||    x, R    x, I    x, K    x, G

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
32snssd 3776 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  B )
4 lidldvgen.k . . . . . . 7  |-  K  =  (RSpan `  R )
5 lidldvgen.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
64, 5rspssid 15991 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  { G }  C_  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
71, 3, 6syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  { G }  C_  ( K `  { G } ) )
8 snssg 3767 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
983ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  <->  { G }  C_  ( K `  { G } ) ) )
107, 9mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  ( K `  { G } ) )
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10  |-  .||  =  (
||r `  R )
125, 4, 11rspsn 16022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
13123adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
y  |  G  .||  y } )
1413eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  x  e.  { y  |  G  .||  y } ) )
15 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
16 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( G  .||  y  <->  G  .||  x ) )
1715, 16elab 2927 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  |  G  .||  y }  <->  G 
.||  x )
1814, 17syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  <->  G  .||  x ) )
1918biimpd 198 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
x  e.  ( K `
 { G }
)  ->  G  .||  x ) )
2019ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
2110, 20jca 518 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
22 eleq2 2357 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( G  e.  I  <->  G  e.  ( K `  { G } ) ) )
23 raleq 2749 . . . 4  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x ) )
2422, 23anbi12d 691 . . 3  |-  ( I  =  ( K `  { G } )  -> 
( ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  <-> 
( G  e.  ( K `  { G } )  /\  A. x  e.  ( K `  { G } ) G  .||  x )
) )
2521, 24syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  ->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
26 df-ral 2561 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
27 ssab 3256 . . . . . . . 8  |-  ( I 
C_  { x  |  G  .||  x }  <->  A. x ( x  e.  I  ->  G  .||  x ) )
2826, 27bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  <->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
2928biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  G  .||  x  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
3029ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  { x  |  G  .||  x }
)
315, 4, 11rspsn 16022 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
32313adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  ( K `  { G } )  =  {
x  |  G  .||  x } )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  =  { x  |  G  .||  x } )
3430, 33sseqtr4d 3228 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  C_  ( K `  { G } ) )
35 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
36 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  I  e.  U )
37 snssi 3775 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  I  ->  { G }  C_  I )
3837adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  { G }  C_  I )
39 lidldvgen.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
404, 39rspssp 15994 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  { G }  C_  I )  -> 
( K `  { G } )  C_  I
)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  G  e.  I
)  ->  ( K `  { G } ) 
C_  I )
4241adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  ( K `  { G } )  C_  I )
4334, 42eqssd 3209 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  /\  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) )  ->  I  =  ( K `  { G } ) )
4443ex 423 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x )  ->  I  =  ( K `  { G } ) ) )
4525, 44impbid 183 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  G  e.  B )  ->  (
I  =  ( K `
 { G }
)  <->  ( G  e.  I  /\  A. x  e.  I  G  .||  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   Ringcrg 15353   ||rcdsr 15436  LIdealclidl 15939  RSpancrsp 15940
This theorem is referenced by:  lpigen  16024  ig1prsp  19579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-dvdsr 15439  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944
  Copyright terms: Public domain W3C validator