MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlmcl Unicode version

Theorem lidlmcl 16208
Description: An ideal is closed under left-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lidlmcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlmcl  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  I )

Proof of Theorem lidlmcl
StepHypRef Expression
1 lidlmcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2 rlmvsca 16193 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
31, 2eqtri 2400 . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  (ringLMod `  R
) )
43oveqi 6026 . 2  |-  ( X 
.x.  Y )  =  ( X ( .s
`  (ringLMod `  R )
) Y )
5 rlmlmod 16196 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
65ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  I ) )  -> 
(ringLMod `  R )  e. 
LMod )
7 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  U )
8 lidlcl.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  R )
9 lidlval 16185 . . . . . 6  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
108, 9eqtri 2400 . . . . 5  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
117, 10syl6eleq 2470 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  I ) )  ->  I  e.  ( LSubSp `  (ringLMod `  R )
) )
13 lidlcl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
14 rlmsca 16191 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )
1514fveq2d 5665 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) ) )
1613, 15syl5eq 2424 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  =  ( Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R )
) ) )
1716eleq2d 2447 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) ) ) )
1817biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R )
) ) )
1918ad2ant2r 728 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  I ) )  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) ) )
20 simprr 734 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  I ) )  ->  Y  e.  I )
21 eqid 2380 . . . 4  |-  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R ) )
22 eqid 2380 . . . 4  |-  ( .s
`  (ringLMod `  R )
)  =  ( .s
`  (ringLMod `  R )
)
23 eqid 2380 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R
) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R )
) )
24 eqid 2380 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (ringLMod `  R )
)  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R )
)
2521, 22, 23, 24lssvscl 15951 . . 3  |-  ( ( ( (ringLMod `  R
)  e.  LMod  /\  I  e.  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) ) )  /\  ( X  e.  ( Base `  (Scalar `  (ringLMod `  R ) ) )  /\  Y  e.  I
) )  ->  ( X ( .s `  (ringLMod `  R ) ) Y )  e.  I
)
266, 12, 19, 20, 25syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X ( .s
`  (ringLMod `  R )
) Y )  e.  I )
274, 26syl5eqel 2464 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   .rcmulr 13450  Scalarcsca 13452   .scvsca 13453   Ringcrg 15580   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928  ringLModcrglmod 16161  LIdealclidl 16162
This theorem is referenced by:  lidl1el  16209  drngnidl  16220  2idlcpbl  16225  zlpirlem3  16686  ig1peu  19954  ig1pdvds  19959  hbtlem2  26990  hbtlem4  26992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-sra 16164  df-rgmod 16165  df-lidl 16166
  Copyright terms: Public domain W3C validator