MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnz Structured version   Unicode version

Theorem lidlnz 16301
Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlnz.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlnz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlnz  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
Distinct variable groups:    x, I    x,  .0.
Allowed substitution hints:    R( x)    U( x)

Proof of Theorem lidlnz
StepHypRef Expression
1 lidlnz.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
2 lidlnz.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2lidl0cl 16285 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  .0.  e.  I )
43snssd 3945 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  {  .0.  } 
C_  I )
543adant3 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  C_  I )
6 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  I  =/=  {  .0.  } )
76necomd 2689 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  =/=  I )
8 df-pss 3338 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  I  <->  ( {  .0.  }  C_  I  /\  {  .0.  }  =/=  I ) )
95, 7, 8sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  {  .0.  }  C.  I )
10 pssnel 3695 . . 3  |-  ( {  .0.  }  C.  I  ->  E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } ) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } ) )
12 elsn 3831 . . . . . 6  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
1312necon3bbii 2634 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  {  .0.  }  <-> 
x  =/=  .0.  )
1413anbi2i 677 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  ( x  e.  I  /\  x  =/= 
.0.  ) )
1514exbii 1593 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  E. x ( x  e.  I  /\  x  =/= 
.0.  ) )
16 df-rex 2713 . . 3  |-  ( E. x  e.  I  x  =/=  .0.  <->  E. x
( x  e.  I  /\  x  =/=  .0.  ) )
1715, 16bitr4i 245 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  I  /\  -.  x  e.  {  .0.  } )  <->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
1811, 17sylib 190 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  I  =/= 
{  .0.  } )  ->  E. x  e.  I  x  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    C_ wss 3322    C. wpss 3323   {csn 3816   ` cfv 5456   0gc0g 13725   Ringcrg 15662  LIdealclidl 16244
This theorem is referenced by:  drngnidl  16302  zlpirlem1  16770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248
  Copyright terms: Public domain W3C validator