Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlrsppropd Structured version   Unicode version

Theorem lidlrsppropd 16293
 Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here is expected to be either (when closure is available) or (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlpropd.1
lidlpropd.2
lidlpropd.3
lidlpropd.4
lidlpropd.5
lidlpropd.6
Assertion
Ref Expression
lidlrsppropd LIdeal LIdeal RSpan RSpan
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem lidlrsppropd
StepHypRef Expression
1 lidlpropd.1 . . . . 5
2 rlmbas 16259 . . . . 5 ringLMod
31, 2syl6eq 2483 . . . 4 ringLMod
4 lidlpropd.2 . . . . 5
5 rlmbas 16259 . . . . 5 ringLMod
64, 5syl6eq 2483 . . . 4 ringLMod
7 lidlpropd.3 . . . 4
8 lidlpropd.4 . . . . 5
9 rlmplusg 16260 . . . . . 6 ringLMod
109oveqi 6086 . . . . 5 ringLMod
11 rlmplusg 16260 . . . . . 6 ringLMod
1211oveqi 6086 . . . . 5 ringLMod
138, 10, 123eqtr3g 2490 . . . 4 ringLMod ringLMod
14 rlmvsca 16265 . . . . . 6 ringLMod
1514oveqi 6086 . . . . 5 ringLMod
16 lidlpropd.5 . . . . 5
1715, 16syl5eqelr 2520 . . . 4 ringLMod
18 lidlpropd.6 . . . . 5
19 rlmvsca 16265 . . . . . 6 ringLMod
2019oveqi 6086 . . . . 5 ringLMod
2118, 15, 203eqtr3g 2490 . . . 4 ringLMod ringLMod
22 baseid 13503 . . . . . . 7 Slot
23 eqid 2435 . . . . . . 7
2422, 23strfvi 13499 . . . . . 6
25 rlmsca2 16264 . . . . . . 7 ScalarringLMod
2625fveq2i 5723 . . . . . 6 ScalarringLMod
2724, 26eqtri 2455 . . . . 5 ScalarringLMod
281, 27syl6eq 2483 . . . 4 ScalarringLMod
29 eqid 2435 . . . . . . 7
3022, 29strfvi 13499 . . . . . 6
31 rlmsca2 16264 . . . . . . 7 ScalarringLMod
3231fveq2i 5723 . . . . . 6 ScalarringLMod
3330, 32eqtri 2455 . . . . 5 ScalarringLMod
344, 33syl6eq 2483 . . . 4 ScalarringLMod
353, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34lsspropd 16085 . . 3 ringLMod ringLMod
36 lidlval 16257 . . 3 LIdeal ringLMod
37 lidlval 16257 . . 3 LIdeal ringLMod
3835, 36, 373eqtr4g 2492 . 2 LIdeal LIdeal
39 fvex 5734 . . . . 5 ringLMod
4039a1i 11 . . . 4 ringLMod
41 fvex 5734 . . . . 5 ringLMod
4241a1i 11 . . . 4 ringLMod
433, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 40, 42lsppropd 16086 . . 3 ringLMod ringLMod
44 rspval 16258 . . 3 RSpan ringLMod
45 rspval 16258 . . 3 RSpan ringLMod
4643, 44, 453eqtr4g 2492 . 2 RSpan RSpan
4738, 46jca 519 1 LIdeal LIdeal RSpan RSpan
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   wss 3312   cid 4485  cfv 5446  (class class class)co 6073  cnx 13458  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  clss 16000  clspn 16039  ringLModcrglmod 16233  LIdealclidl 16234  RSpancrsp 16235 This theorem is referenced by:  crngridl  16301 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239
 Copyright terms: Public domain W3C validator