MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlsubcl Unicode version

Theorem lidlsubcl 16214
Description: An ideal is closed under subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lidlsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlsubcl  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  I )

Proof of Theorem lidlsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 lidlcl.u . . . . . 6  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2lidlss 16207 . . . . 5  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
43sselda 3291 . . . 4  |-  ( ( I  e.  U  /\  X  e.  I )  ->  X  e.  ( Base `  R ) )
54ad2ant2lr 729 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  ->  X  e.  ( Base `  R ) )
63sselda 3291 . . . 4  |-  ( ( I  e.  U  /\  Y  e.  I )  ->  Y  e.  ( Base `  R ) )
76ad2ant2l 727 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  ->  Y  e.  ( Base `  R ) )
8 eqid 2387 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
9 eqid 2387 . . . 4  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
10 lidlsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  R )
111, 8, 9, 10grpsubval 14775 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Base `  R )  /\  Y  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  R ) ( ( inv g `  R
) `  Y )
) )
125, 7, 11syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  R
) ( ( inv g `  R ) `
 Y ) ) )
13 simpl 444 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  I  e.  U ) )
14 simprl 733 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  ->  X  e.  I )
15 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  ->  I  e.  U )
17 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  ->  Y  e.  I )
182, 9lidlnegcl 16212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  Y  e.  I )  ->  (
( inv g `  R ) `  Y
)  e.  I )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  Y
)  e.  I )
202, 8lidlacl 16211 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  ( ( inv g `  R
) `  Y )  e.  I ) )  -> 
( X ( +g  `  R ) ( ( inv g `  R
) `  Y )
)  e.  I )
2113, 14, 19, 20syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X ( +g  `  R ) ( ( inv g `  R
) `  Y )
)  e.  I )
2212, 21eqeltrd 2461 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( X  e.  I  /\  Y  e.  I ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   inv gcminusg 14613   -gcsg 14615   Ringcrg 15587  LIdealclidl 16169
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  16232  ig1peu  19961  ig1pdvds  19966  hbtlem5  27001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-lidl 16173
  Copyright terms: Public domain W3C validator