MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlsubg Structured version   Unicode version

Theorem lidlsubg 16291
Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlsubg  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  (SubGrp `  R )
)

Proof of Theorem lidlsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 lidlcl.u . . . 4  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2lidlss 16285 . . 3  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
43adantl 454 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
62, 5lidl0cl 16288 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  R )  e.  I )
7 ne0i 3636 . . 3  |-  ( ( 0g `  R )  e.  I  ->  I  =/=  (/) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  =/=  (/) )
9 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
102, 9lidlacl 16289 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  I )
1110anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U
)  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  I )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I )
1211ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  A. y  e.  I  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  I
)
13 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
142, 13lidlnegcl 16290 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  x  e.  I )  ->  (
( inv g `  R ) `  x
)  e.  I )
15143expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  I )
1612, 15jca 520 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  ( A. y  e.  I  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R
) `  x )  e.  I ) )
1716ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R
) `  x )  e.  I ) )
18 rnggrp 15674 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
1918adantr 453 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
201, 9, 13issubg2 14964 . . 3  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( I  C_  ( Base `  R
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R ) `  x
)  e.  I ) ) ) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
I  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( I  C_  ( Base `  R
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R ) `  x
)  e.  I ) ) ) )
224, 8, 17, 21mpbir3and 1138 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  (SubGrp `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691  SubGrpcsubg 14943   Ringcrg 15665  LIdealclidl 16247
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  16310  divs1  16311  divsrhm  16313  divscrng  16316  zndvds  16835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251
  Copyright terms: Public domain W3C validator