MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlsubg Unicode version

Theorem lidlsubg 16249
Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlsubg  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  (SubGrp `  R )
)

Proof of Theorem lidlsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 lidlcl.u . . . 4  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2lidlss 16243 . . 3  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
43adantl 453 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
5 eqid 2412 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
62, 5lidl0cl 16246 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  R )  e.  I )
7 ne0i 3602 . . 3  |-  ( ( 0g `  R )  e.  I  ->  I  =/=  (/) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  =/=  (/) )
9 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
102, 9lidlacl 16247 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  I )
1110anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U
)  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  I )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I )
1211ralrimiva 2757 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  A. y  e.  I  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  I
)
13 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
142, 13lidlnegcl 16248 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  x  e.  I )  ->  (
( inv g `  R ) `  x
)  e.  I )
15143expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( inv g `  R ) `
 x )  e.  I )
1612, 15jca 519 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  ( A. y  e.  I  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R
) `  x )  e.  I ) )
1716ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R
) `  x )  e.  I ) )
18 rnggrp 15632 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
1918adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
201, 9, 13issubg2 14922 . . 3  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( I  C_  ( Base `  R
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R ) `  x
)  e.  I ) ) ) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
I  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( I  C_  ( Base `  R
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  I  /\  ( ( inv g `  R ) `  x
)  e.  I ) ) ) )
224, 8, 17, 21mpbir3and 1137 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  (SubGrp `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   0gc0g 13686   Grpcgrp 14648   inv gcminusg 14649  SubGrpcsubg 14901   Ringcrg 15623  LIdealclidl 16205
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  16268  divs1  16269  divsrhm  16271  divscrng  16274  zndvds  16793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-lidl 16209
  Copyright terms: Public domain W3C validator