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Theorem limccnp 19241
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
2 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 16975 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C )  ->  C  e.  U. J )
41, 3syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  U. J
)
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Kt  D )
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
9 resttopon 16892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
107, 8, 9sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
115, 10syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
12 toponuni 16665 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  =  U. J )
1311, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  U. J
)
144, 13eleqtrrd 2360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1514ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  D )
16 limccnp.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
1716ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  F : A
--> D )
18 elun 3316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
19 elsni 3664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
2019orim2i 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } )  ->  (
x  e.  A  \/  x  =  B )
)
2118, 20sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2221adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2322orcomd 377 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  =  B  \/  x  e.  A
) )
2423orcanai 879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
2517, 24ffvelrnd 5666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( F `  x )  e.  D
)
2615, 25ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  e.  D )
27 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
287a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
29 cnpf2 16980 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
3011, 28, 1, 29syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
3130feqmptd 5575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  D  |->  ( G `
 y ) ) )
32 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3326, 27, 31, 32fmptco 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
34 fvco3 5596 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> D  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3517, 24, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
3635ifeq2da 3591 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
37 fvif 5540 . . . . . 6  |-  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( G `  ( F `  x ) ) )
3836, 37syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3938mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
4033, 39eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) ) )
41 limccnp.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
42 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
43 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )
44 fss 5397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> D  /\  D  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
4516, 8, 44syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
46 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> D  ->  dom  F  =  A )
4716, 46syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
48 limcrcl 19224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
4941, 48syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
5049simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
5147, 50eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5249simp3d 969 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5342, 6, 43, 45, 51, 52ellimc 19223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5441, 53mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) )
556cnfldtop 18293 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
5655a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5726, 43fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D )
5852snssd 3760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5951, 58unssd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
60 resttopon 16892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
617, 59, 60sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
62 toponuni 16665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6463feq2d 5380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D ) )
6557, 64mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D )
66 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
677toponunii 16670 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. K
6866, 67cnprest2 17018 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D  /\  D  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
6956, 65, 8, 68syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
7054, 69mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) )
715oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) )
7271fveq1i 5526 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B )
7370, 72syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
74 ssun2 3339 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
75 snssg 3754 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7652, 75syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7774, 76mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
78 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `
 x ) )  =  C )
7978, 43fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  D )  ->  (
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8077, 14, 79syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8180fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )
821, 81eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `  B
) ) )
83 cnpco 16996 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) ) )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8473, 82, 83syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8540, 84eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
86 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )
87 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
8830, 16, 87syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
8942, 6, 86, 88, 51, 52ellimc 19223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9085, 89mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955   lim CC climc 19212
This theorem is referenced by:  limcco  19243  dvcjbr  19298  dvcnvlem  19323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
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