Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp Structured version   Unicode version

Theorem limccnp 19770
 Description: If the limit of at is and is continuous at , then the limit of at is . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f
limccnp.d
limccnp.k fld
limccnp.j t
limccnp.c lim
limccnp.b
Assertion
Ref Expression
limccnp lim

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9
2 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
32cnprcl 17301 . . . . . . . . 9
41, 3syl 16 . . . . . . . 8
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10 t
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12 fld
76cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . . 11 TopOn
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11
9 resttopon 17217 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
107, 8, 9sylancr 645 . . . . . . . . . 10 t TopOn
115, 10syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9 TopOn
12 toponuni 16984 . . . . . . . . 9 TopOn
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8
144, 13eleqtrrd 2512 . . . . . . 7
1514ad2antrr 707 . . . . . 6
16 limccnp.f . . . . . . . 8
1716ad2antrr 707 . . . . . . 7
18 elun 3480 . . . . . . . . . . 11
19 elsni 3830 . . . . . . . . . . . 12
2019orim2i 505 . . . . . . . . . . 11
2118, 20sylbi 188 . . . . . . . . . 10
2221adantl 453 . . . . . . . . 9
2322orcomd 378 . . . . . . . 8
2423orcanai 880 . . . . . . 7
2517, 24ffvelrnd 5863 . . . . . 6
2615, 25ifclda 3758 . . . . 5
27 eqidd 2436 . . . . 5
287a1i 11 . . . . . . 7 TopOn
29 cnpf2 17306 . . . . . . 7 TopOn TopOn
3011, 28, 1, 29syl3anc 1184 . . . . . 6
3130feqmptd 5771 . . . . 5
32 fveq2 5720 . . . . 5
3326, 27, 31, 32fmptco 5893 . . . 4
34 fvco3 5792 . . . . . . . 8
3517, 24, 34syl2anc 643 . . . . . . 7
3635ifeq2da 3757 . . . . . 6
37 fvif 5735 . . . . . 6
3836, 37syl6eqr 2485 . . . . 5
3938mpteq2dva 4287 . . . 4
4033, 39eqtr4d 2470 . . 3
41 limccnp.c . . . . . . 7 lim
42 eqid 2435 . . . . . . . 8 t t
43 eqid 2435 . . . . . . . 8
44 fss 5591 . . . . . . . . 9
4516, 8, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8
46 fdm 5587 . . . . . . . . . 10
4716, 46syl 16 . . . . . . . . 9
48 limcrcl 19753 . . . . . . . . . . 11 lim
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . 10
5049simp2d 970 . . . . . . . . 9
5147, 50eqsstr3d 3375 . . . . . . . 8
5249simp3d 971 . . . . . . . 8
5342, 6, 43, 45, 51, 52ellimc 19752 . . . . . . 7 lim t
5441, 53mpbid 202 . . . . . 6 t
556cnfldtop 18810 . . . . . . . 8
5655a1i 11 . . . . . . 7
5726, 43fmptd 5885 . . . . . . . 8
5852snssd 3935 . . . . . . . . . . . 12
5951, 58unssd 3515 . . . . . . . . . . 11
60 resttopon 17217 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
617, 59, 60sylancr 645 . . . . . . . . . 10 t TopOn
62 toponuni 16984 . . . . . . . . . 10 t TopOn t
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9 t
6463feq2d 5573 . . . . . . . 8 t
6557, 64mpbid 202 . . . . . . 7 t
66 eqid 2435 . . . . . . . 8 t t
677toponunii 16989 . . . . . . . 8
6866, 67cnprest2 17346 . . . . . . 7 t t t t
6956, 65, 8, 68syl3anc 1184 . . . . . 6 t t t
7054, 69mpbid 202 . . . . 5 t t
715oveq2i 6084 . . . . . 6 t t t
7271fveq1i 5721 . . . . 5 t t t
7370, 72syl6eleqr 2526 . . . 4 t
74 ssun2 3503 . . . . . . . 8
75 snssg 3924 . . . . . . . . 9
7652, 75syl 16 . . . . . . . 8
7774, 76mpbiri 225 . . . . . . 7
78 iftrue 3737 . . . . . . . 8
7978, 43fvmptg 5796 . . . . . . 7
8077, 14, 79syl2anc 643 . . . . . 6
8180fveq2d 5724 . . . . 5
821, 81eleqtrrd 2512 . . . 4
83 cnpco 17323 . . . 4 t t
8473, 82, 83syl2anc 643 . . 3 t
8540, 84eqeltrrd 2510 . 2 t
86 eqid 2435 . . 3
87 fco 5592 . . . 4
8830, 16, 87syl2anc 643 . . 3
8942, 6, 86, 88, 51, 52ellimc 19752 . 2 lim t
9085, 89mpbird 224 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cun 3310   wss 3312  cif 3731  csn 3806  cuni 4007   cmpt 4258   cdm 4870   ccom 4874  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980   ↾t crest 13640  ctopn 13641  ℂfldccnfld 16695  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccnp 17281   lim climc 19741 This theorem is referenced by:  limcco  19772  dvcjbr  19827  dvcnvlem  19852 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343  df-limc 19745
 Copyright terms: Public domain W3C validator