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Theorem limccnp2 19242
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
limccnp2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
limccnp2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
limccnp2.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
limccnp2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp2.j  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
limccnp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
limccnp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
limccnp2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, X    x, A    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem limccnp2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
2 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 16975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. )  ->  <. C ,  D >.  e.  U. J )
41, 3syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e. 
U. J )
5 limccnp2.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
6 limccnp2.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 txtopon 17286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
97, 7, 8mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
10 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
11 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
12 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )
14 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  /\  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
159, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
165, 15syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
17 toponuni 16665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. J )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. J
)
194, 18eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
20 opelxp 4719 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y ) )
2119, 20sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y
) )
2221simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
2322ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  X )
24 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ph )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
26 elun 3316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2725, 26sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2827ord 366 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  e.  { B } ) )
29 elsni 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
3028, 29syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  =  B ) )
3130con1d 116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  =  B  ->  x  e.  A ) )
3231imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
33 limccnp2.r . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
3424, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  R  e.  X )
3523, 34ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  e.  X )
3621simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
3736ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  D  e.  Y )
38 limccnp2.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
3924, 32, 38syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  S  e.  Y )
4037, 39ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  e.  Y )
41 opelxpi 4721 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  =  B ,  C ,  R )  e.  X  /\  if ( x  =  B ,  D ,  S )  e.  Y
)  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
4235, 40, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
43 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
447a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
45 cnpf2 16980 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  H  e.  (
( J  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4616, 44, 1, 45syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4746feqmptd 5575 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( H `
 y ) ) )
48 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  ( H `  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
49 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )
50 iftrue 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R )  =  C )
51 iftrue 3571 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S )  =  D )
5250, 51oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( C H D ) )
53 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( C H D ) )
5452, 53eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
55 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  =  R )
56 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  =  S )
5755, 56oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  ( R H S ) )
58 iffalse 3572 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( R H S ) )
5957, 58eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6054, 59pm2.61i 156 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) )
6149, 60eqtr3i 2305 . . . . 5  |-  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )
6248, 61syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6342, 43, 47, 62fmptco 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) ) )
64 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
6533, 64fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X )
66 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
68 limccnp2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
69 limcrcl 19224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  B )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7170simp2d 968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  C_  CC )
7267, 71eqsstr3d 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
7370simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
7473snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
7572, 74unssd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
76 resttopon 16892 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
777, 75, 76sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
78 ssun2 3339 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
79 snssg 3754 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8073, 79syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8178, 80mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
8210adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  C_  CC )
8382, 33sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
84 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
8572, 73, 83, 84, 6limcmpt 19233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
8668, 85mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
87 limccnp2.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
8811adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  C_  CC )
8988, 38sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  CC )
9072, 73, 89, 84, 6limcmpt 19233 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
9187, 90mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
9277, 44, 44, 81, 86, 91txcnp 17314 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
) )
939topontopi 16669 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  e. 
Top
9493a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
95 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
9642, 95fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y ) )
97 toponuni 16665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9877, 97syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9998feq2d 5380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) ) )
10096, 99mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) )
101 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
1029toponunii 16670 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
103101, 102cnprest2 17018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y )  /\  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10494, 100, 13, 103syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10592, 104mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) )
1065oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K 
tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) )
107106fveq1i 5526 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) ) ) `  B )
108105, 107syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
10950, 51opeq12d 3804 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  =  <. C ,  D >. )
110 opex 4237 . . . . . . . 8  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
111109, 95, 110fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
11281, 111syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
113112fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
1141, 113eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B ) ) )
115 cnpco 16996 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) ) )  ->  ( H  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
116108, 114, 115syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )
)
11763, 116eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
11846adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
119118, 33, 38fovrnd 5992 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R H S )  e.  CC )
12072, 73, 119, 84, 6limcmpt 19233 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
121117, 120mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955    tX ctx 17255   lim CC climc 19212
This theorem is referenced by:  dvcnp2  19269  dvaddbr  19287  dvmulbr  19288  dvcobr  19295  lhop1lem  19360  taylthlem2  19753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
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