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Theorem limccnp2 19779
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
limccnp2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
limccnp2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
limccnp2.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
limccnp2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp2.j  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
limccnp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
limccnp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
limccnp2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, X    x, A    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem limccnp2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
2 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 17309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. )  ->  <. C ,  D >.  e.  U. J )
41, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e. 
U. J )
5 limccnp2.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
6 limccnp2.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 18817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 txtopon 17623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
97, 7, 8mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
10 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
11 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
12 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )
14 resttopon 17225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  /\  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
159, 13, 14sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
165, 15syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
17 toponuni 16992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. J )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. J
)
194, 18eleqtrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
20 opelxp 4908 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y ) )
2119, 20sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y
) )
2221simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
2322ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  X )
24 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ph )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
26 elun 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2725, 26sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2827ord 367 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  e.  { B } ) )
29 elsni 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
3028, 29syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  =  B ) )
3130con1d 118 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  =  B  ->  x  e.  A ) )
3231imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
33 limccnp2.r . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
3424, 32, 33syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  R  e.  X )
3523, 34ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  e.  X )
3621simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
3736ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  D  e.  Y )
38 limccnp2.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
3924, 32, 38syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  S  e.  Y )
4037, 39ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  e.  Y )
41 opelxpi 4910 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  =  B ,  C ,  R )  e.  X  /\  if ( x  =  B ,  D ,  S )  e.  Y
)  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
4235, 40, 41syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
43 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
447a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
45 cnpf2 17314 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  H  e.  (
( J  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4616, 44, 1, 45syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4746feqmptd 5779 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( H `
 y ) ) )
48 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  ( H `  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
49 df-ov 6084 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )
50 iftrue 3745 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R )  =  C )
51 iftrue 3745 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S )  =  D )
5250, 51oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( C H D ) )
53 iftrue 3745 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( C H D ) )
5452, 53eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
55 iffalse 3746 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  =  R )
56 iffalse 3746 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  =  S )
5755, 56oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  ( R H S ) )
58 iffalse 3746 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( R H S ) )
5957, 58eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6054, 59pm2.61i 158 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) )
6149, 60eqtr3i 2458 . . . . 5  |-  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )
6248, 61syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6342, 43, 47, 62fmptco 5901 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) ) )
64 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
6533, 64fmptd 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X )
66 fdm 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
68 limccnp2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
69 limcrcl 19761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  B )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7170simp2d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  C_  CC )
7267, 71eqsstr3d 3383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
7370simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
7473snssd 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
7572, 74unssd 3523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
76 resttopon 17225 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
777, 75, 76sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
78 ssun2 3511 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
79 snssg 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8073, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8178, 80mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
8210adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  C_  CC )
8382, 33sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
84 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
8572, 73, 83, 84, 6limcmpt 19770 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
8668, 85mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
87 limccnp2.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
8811adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  C_  CC )
8988, 38sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  CC )
9072, 73, 89, 84, 6limcmpt 19770 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
9187, 90mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
9277, 44, 44, 81, 86, 91txcnp 17652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
) )
939topontopi 16996 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  e. 
Top
9493a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
95 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
9642, 95fmptd 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y ) )
97 toponuni 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9877, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9998feq2d 5581 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) ) )
10096, 99mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) )
101 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
1029toponunii 16997 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
103101, 102cnprest2 17354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y )  /\  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10494, 100, 13, 103syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10592, 104mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) )
1065oveq2i 6092 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K 
tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) )
107106fveq1i 5729 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) ) ) `  B )
108105, 107syl6eleqr 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
10950, 51opeq12d 3992 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  =  <. C ,  D >. )
110 opex 4427 . . . . . . . 8  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
111109, 95, 110fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
11281, 111syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
113112fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
1141, 113eleqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B ) ) )
115 cnpco 17331 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) ) )  ->  ( H  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
116108, 114, 115syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )
)
11763, 116eqeltrrd 2511 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
11846adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
119118, 33, 38fovrnd 6218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R H S )  e.  CC )
12072, 73, 119, 84, 6limcmpt 19770 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
121117, 120mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    C_ wss 3320   ifcif 3739   {csn 3814   <.cop 3817   U.cuni 4015    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   dom cdm 4878    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958  TopOnctopon 16959    CnP ccnp 17289    tX ctx 17592   lim CC climc 19749
This theorem is referenced by:  dvcnp2  19806  dvaddbr  19824  dvmulbr  19825  dvcobr  19832  lhop1lem  19897  taylthlem2  20290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753
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