MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Unicode version

Theorem limcco 19243
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
limcco.s  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
limcco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
limcco.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
limcco.1  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
limcco.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
Assertion
Ref Expression
limcco  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    y, R    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    A( y)    R( x)    S( y)    T( x)    X( x, y)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 ssun2 3339 . . . . 5  |-  { C }  C_  ( B  u.  { C } )
2 limcco.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
3 snssg 3754 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  X )  -> 
( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
51, 4mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B  u.  { C }
) )
6 limcco.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
7 iftrue 3571 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  D )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  =  ( y  e.  ( B  u.  { C }
)  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S ) )
97, 8fvmptg 5600 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( B  u.  { C }
)  /\  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
105, 6, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
11 limcco.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
1211expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  =/=  C  ->  R  e.  B ) )
1312necon1bd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  =  C ) )
14 limccl 19225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) 
C_  CC
1514, 2sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
17 elsnc2g 3668 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  CC  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
1913, 18sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  e.  { C } ) )
2019orrd 367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
21 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( R  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
2220, 21sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  ( B  u.  { C } ) )
23 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
2422, 23fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> ( B  u.  { C } ) )
25 limcco.s . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
26 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  ( y  e.  B  |->  S )
2725, 26fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC )
28 fdm 5393 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
2927, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
30 limcrcl 19224 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim
CC  C )  -> 
( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
316, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
3231simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  C_  CC )
3329, 32eqsstr3d 3213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
3415snssd 3760 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { C }  C_  CC )
3533, 34unssd 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  { C } )  C_  CC )
36 eqid 2283 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
37 eqid 2283 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )
3833, 15, 25, 37, 36limcmpt 19233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C
)  <->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
396, 38mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
4024, 35, 36, 37, 2, 39limccnp 19241 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  e.  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
) )
4110, 40eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X ) )
42 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
43 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  =  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) ) )
44 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  (
y  =  C  <->  R  =  C ) )
45 limcco.1 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
4644, 45ifbieq2d 3585 . . . . 5  |-  ( y  =  R  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  if ( R  =  C ,  D ,  T )
)
4722, 42, 43, 46fmptco 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T )
) )
48 ifid 3597 . . . . . 6  |-  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  T
49 limcco.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
5049anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  R  =  C )  ->  T  =  D )
5150ifeq1da 3590 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )
5248, 51syl5reqr 2330 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  D ,  T )  =  T )
5352mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5447, 53eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5554oveq1d 5873 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
)  =  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
5641, 55eleqtrd 2359 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377    CnP ccnp 16955   lim CC climc 19212
This theorem is referenced by:  dvcobr  19295  dvcnvlem  19323  lhop2  19362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
  Copyright terms: Public domain W3C validator