MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Unicode version

Theorem limcco 19296
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
limcco.s  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
limcco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
limcco.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
limcco.1  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
limcco.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
Assertion
Ref Expression
limcco  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    y, R    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    A( y)    R( x)    S( y)    T( x)    X( x, y)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 ssun2 3373 . . . . 5  |-  { C }  C_  ( B  u.  { C } )
2 limcco.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
3 snssg 3788 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  X )  -> 
( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
51, 4mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B  u.  { C }
) )
6 limcco.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
7 iftrue 3605 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  D )
8 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  =  ( y  e.  ( B  u.  { C }
)  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S ) )
97, 8fvmptg 5638 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( B  u.  { C }
)  /\  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
105, 6, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
11 limcco.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
1211expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  =/=  C  ->  R  e.  B ) )
1312necon1bd 2547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  =  C ) )
14 limccl 19278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) 
C_  CC
1514, 2sseldi 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
17 elsnc2g 3702 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  CC  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
1913, 18sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  e.  { C } ) )
2019orrd 367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
21 elun 3350 . . . . . 6  |-  ( R  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
2220, 21sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  ( B  u.  { C } ) )
23 eqid 2316 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
2422, 23fmptd 5722 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> ( B  u.  { C } ) )
25 limcco.s . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
26 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  ( y  e.  B  |->  S )
2725, 26fmptd 5722 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC )
28 fdm 5431 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
2927, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
30 limcrcl 19277 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim
CC  C )  -> 
( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
316, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
3231simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  C_  CC )
3329, 32eqsstr3d 3247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
3415snssd 3797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { C }  C_  CC )
3533, 34unssd 3385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  { C } )  C_  CC )
36 eqid 2316 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
37 eqid 2316 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )
3833, 15, 25, 37, 36limcmpt 19286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C
)  <->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
396, 38mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
4024, 35, 36, 37, 2, 39limccnp 19294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  e.  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
) )
4110, 40eqeltrrd 2391 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X ) )
42 eqidd 2317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
43 eqidd 2317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  =  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) ) )
44 eqeq1 2322 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  (
y  =  C  <->  R  =  C ) )
45 limcco.1 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
4644, 45ifbieq2d 3619 . . . . 5  |-  ( y  =  R  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  if ( R  =  C ,  D ,  T )
)
4722, 42, 43, 46fmptco 5729 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T )
) )
48 ifid 3631 . . . . . 6  |-  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  T
49 limcco.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
5049anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  R  =  C )  ->  T  =  D )
5150ifeq1da 3624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )
5248, 51syl5reqr 2363 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  D ,  T )  =  T )
5352mpteq2dva 4143 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5447, 53eqtrd 2348 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5554oveq1d 5915 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
)  =  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
5641, 55eleqtrd 2392 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479    u. cun 3184    C_ wss 3186   ifcif 3599   {csn 3674    e. cmpt 4114   dom cdm 4726    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   ↾t crest 13374   TopOpenctopn 13375  ℂfldccnfld 16432    CnP ccnp 17011   lim CC climc 19265
This theorem is referenced by:  dvcobr  19348  dvcnvlem  19376  lhop2  19415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-fz 10830  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cnp 17014  df-xms 17937  df-ms 17938  df-limc 19269
  Copyright terms: Public domain W3C validator