Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcdif Unicode version

Theorem limcdif 19242
 Description: It suffices to consider functions which are not defined at to define the limit of a function. In particular, the value of the original function at does not affect the limit of . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limccl.f
Assertion
Ref Expression
limcdif lim lim

Proof of Theorem limcdif
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . . . . . 8
2 fdm 5409 . . . . . . . 8
31, 2syl 15 . . . . . . 7
43adantr 451 . . . . . 6 lim
5 limcrcl 19240 . . . . . . . 8 lim
65adantl 452 . . . . . . 7 lim
76simp2d 968 . . . . . 6 lim
84, 7eqsstr3d 3226 . . . . 5 lim
96simp3d 969 . . . . 5 lim
108, 9jca 518 . . . 4 lim
1110ex 423 . . 3 lim
12 ssun1 3351 . . . . . 6
13 undif1 3542 . . . . . . 7
14 difss 3316 . . . . . . . . . . . 12
15 fssres 5424 . . . . . . . . . . . 12
161, 14, 15sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
17 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . 10
1918adantr 451 . . . . . . . . 9 lim
20 limcrcl 19240 . . . . . . . . . . 11 lim
2120adantl 452 . . . . . . . . . 10 lim
2221simp2d 968 . . . . . . . . 9 lim
2319, 22eqsstr3d 3226 . . . . . . . 8 lim
2421simp3d 969 . . . . . . . . 9 lim
2524snssd 3776 . . . . . . . 8 lim
2623, 25unssd 3364 . . . . . . 7 lim
2713, 26syl5eqssr 3236 . . . . . 6 lim
2812, 27syl5ss 3203 . . . . 5 lim
2928, 24jca 518 . . . 4 lim
3029ex 423 . . 3 lim
31 eqid 2296 . . . . . 6 fldt fldt
32 eqid 2296 . . . . . 6 fld fld
33 eqid 2296 . . . . . 6
341adantr 451 . . . . . 6
35 simprl 732 . . . . . 6
36 simprr 733 . . . . . 6
3731, 32, 33, 34, 35, 36ellimc 19239 . . . . 5 lim fldt fld
3813eqcomi 2300 . . . . . . 7
3938oveq2i 5885 . . . . . 6 fldt fldt
40 eqid 2296 . . . . . . . 8
4138, 40mpteq12i 4120 . . . . . . 7
42 elun 3329 . . . . . . . . 9
43 elsn 3668 . . . . . . . . . . 11
4443orbi2i 505 . . . . . . . . . 10
45 pm5.61 693 . . . . . . . . . . . 12
46 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . 13
4746adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
4845, 47sylbi 187 . . . . . . . . . . 11
4948ifeq2da 3604 . . . . . . . . . 10
5044, 49sylbi 187 . . . . . . . . 9
5142, 50sylbi 187 . . . . . . . 8
5251mpteq2ia 4118 . . . . . . 7
5341, 52eqtr4i 2319 . . . . . 6
5416adantr 451 . . . . . 6
5514, 35syl5ss 3203 . . . . . 6
5639, 32, 53, 54, 55, 36ellimc 19239 . . . . 5 lim fldt fld
5737, 56bitr4d 247 . . . 4 lim lim
5857ex 423 . . 3 lim lim
5911, 30, 58pm5.21ndd 343 . 2 lim lim
6059eqrdv 2294 1 lim lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  cif 3578  csn 3653   cmpt 4093   cdm 4705   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751   ↾t crest 13341  ctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   ccnp 16971   lim climc 19228 This theorem is referenced by:  dvcnp2  19285  dvmulbr  19304  dvrec  19320 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cnp 16974  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232
 Copyright terms: Public domain W3C validator