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Theorem limcflf 19768
Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of  B restricted to  A  \  { B }, to the topology of the complexes. (If  B is not a limit point of  A, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcflf.c  |-  C  =  ( A  \  { B } )
limcflf.l  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
Assertion
Ref Expression
limcflf  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables  t 
s  u  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
21inex1 4344 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  i^i  C )  e. 
_V
32rgenw 2773 . . . . . . . . 9  |-  A. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e. 
_V
4 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )  =  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )
5 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( ( F  |`  C ) " (
t  i^i  C )
) )
6 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  i^i  C )  C_  C
7 resima2 5179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  C ) 
C_  C  ->  (
( F  |`  C )
" ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  C ) " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
)
95, 8syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
109sseq1d 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
114, 10rexrnmpt 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e.  _V  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
123, 11mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
14 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  e.  _V
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  =  ( A  \  { B } )
16 difss 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
1715, 16eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  C_  A
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1917, 18syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
20 cnex 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
2120ssex 4347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  CC  ->  C  e. 
_V )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
2322ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  C  e.  _V )
24 restval 13654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  K
) `  { B } )  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2514, 23, 24sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2613, 25syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  L  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2726rexeqdv 2911 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  L  (
( F  |`  C )
" s )  C_  u 
<->  E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2928cnfldtop 18818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  e. 
Top
30 opnneip 17183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
3129, 30mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
32 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  t  =  w )
3315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  C  =  ( A  \  { B } ) )
3432, 33ineq12d 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
t  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
3534imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
3635sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
( F " (
t  i^i  C )
)  C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
3736rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3831, 37sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3938anasss 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  K  /\  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
4039rexlimiva 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
41 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) )
4228cnfldtopon 18817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4342toponunii 16997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. K
4443neii1 17170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) )  ->  t  C_  CC )
4529, 41, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  C_  CC )
4643ntropn 17113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  e.  K )
4729, 45, 46sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  e.  K )
4829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  K  e.  Top )
4943lpss 17206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
5029, 18, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
5250, 51sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5352snssd 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5453ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  CC )
5543neiint 17168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  { B }  C_  CC  /\  t  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
5648, 54, 45, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  <->  { B }  C_  ( ( int `  K
) `  t )
) )
5741, 56mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) )
5852ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  CC )
59 snssg 3932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6157, 60mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  ( ( int `  K
) `  t )
)
6243ntrss2 17121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  C_  t )
6329, 45, 62sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  C_  t )
64 ssrin 3566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  K
) `  t )  C_  t  ->  ( (
( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )
)
65 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )  ->  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
6663, 64, 653syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
67 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
6866, 67sstrd 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u )
69 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( B  e.  w  <->  B  e.  (
( int `  K
) `  t )
) )
7015ineq2i 3539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) )
71 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  C )  =  ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )
7270, 71syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)
7372imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) ) )
7473sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)  C_  u )
)
7569, 74anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `
 t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  u ) ) )
7675rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  e.  K  /\  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u ) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
7747, 61, 68, 76syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
7877rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( F " ( t  i^i  C ) ) 
C_  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7940, 78impbid2 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) ( F "
( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
8012, 27, 793bitr4rd 278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C )
" s )  C_  u ) )
8180anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  x  e.  u )  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
)  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
8281pm5.74da 669 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8382ralbidva 2721 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8483pm5.32da 623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
85 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8685, 18, 52, 28ellimc2 19764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
8742a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8885, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 19767 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  C ) )
89 fssres 5610 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
9085, 17, 89sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C ) : C --> CC )
91 isflf 18025 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  L  e.  ( Fil `  C
)  /\  ( F  |`  C ) : C --> CC )  ->  ( x  e.  ( ( K 
fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
) ) )
9287, 88, 90, 91syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 ( F  |`  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
9384, 86, 923bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) ) )
9493eqrdv 2434 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814    e. cmpt 4266   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   intcnt 17081   neicnei 17161   limPtclp 17198   Filcfil 17877    fLimf cflf 17967   lim CC climc 19749
This theorem is referenced by:  limcmo  19769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-cnp 17292  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753
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