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Theorem limcflf 19247
Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of  B restricted to  A  \  { B }, to the topology of the complexes. (If  B is not a limit point of  A, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcflf.c  |-  C  =  ( A  \  { B } )
limcflf.l  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
Assertion
Ref Expression
limcflf  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables  t 
s  u  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
21inex1 4171 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  i^i  C )  e. 
_V
32rgenw 2623 . . . . . . . . 9  |-  A. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e. 
_V
4 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )  =  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )
5 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( ( F  |`  C ) " (
t  i^i  C )
) )
6 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  i^i  C )  C_  C
7 resima2 5004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  C ) 
C_  C  ->  (
( F  |`  C )
" ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  C ) " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
)
95, 8syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
109sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
114, 10rexrnmpt 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e.  _V  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
123, 11mp1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
14 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  e.  _V
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  =  ( A  \  { B } )
16 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
1715, 16eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  C_  A
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1917, 18syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
20 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
2120ssex 4174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  CC  ->  C  e. 
_V )
2219, 21syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  C  e.  _V )
24 restval 13347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  K
) `  { B } )  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2514, 23, 24sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2613, 25syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  L  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2726rexeqdv 2756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  L  (
( F  |`  C )
" s )  C_  u 
<->  E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2928cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  e. 
Top
30 opnneip 16872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
3129, 30mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
32 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  t  =  w )
3315a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  C  =  ( A  \  { B } ) )
3432, 33ineq12d 3384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
t  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
3534imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
3635sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
( F " (
t  i^i  C )
)  C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
3736rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3831, 37sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3938anasss 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  K  /\  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
4039rexlimiva 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
41 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) )
4228cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4342toponunii 16686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  =  U. K
4443neii1 16859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) )  ->  t  C_  CC )
4529, 41, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  C_  CC )
4643ntropn 16802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  e.  K )
4729, 45, 46sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  e.  K )
4829a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  K  e.  Top )
4943lpss 16890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
5029, 18, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
5250, 51sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5352snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5453ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  CC )
5543neiint 16857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  { B }  C_  CC  /\  t  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
5648, 54, 45, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  <->  { B }  C_  ( ( int `  K
) `  t )
) )
5741, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) )
5852ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  CC )
59 snssg 3767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6157, 60mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  ( ( int `  K
) `  t )
)
6243ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  C_  t )
6329, 45, 62sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  C_  t )
64 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( int `  K
) `  t )  C_  t  ->  ( (
( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )
)
65 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )  ->  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
67 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
6866, 67sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u )
69 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( B  e.  w  <->  B  e.  (
( int `  K
) `  t )
) )
7015ineq2i 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) )
71 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  C )  =  ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )
7270, 71syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)
7372imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) ) )
7473sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)  C_  u )
)
7569, 74anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `
 t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  u ) ) )
7675rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  e.  K  /\  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u ) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
7747, 61, 68, 76syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
7877expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) )  -> 
( ( F "
( t  i^i  C
) )  C_  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) )
7978rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( F " ( t  i^i  C ) ) 
C_  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
8040, 79impbid2 195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) ( F "
( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
8112, 27, 803bitr4rd 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C )
" s )  C_  u ) )
8281anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  x  e.  u )  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
)  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
8382pm5.74da 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8483ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8584pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
86 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8786, 18, 52, 28ellimc2 19243 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
8842a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8986, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 19246 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  C ) )
90 fssres 5424 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
9186, 17, 90sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C ) : C --> CC )
92 isflf 17704 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  L  e.  ( Fil `  C
)  /\  ( F  |`  C ) : C --> CC )  ->  ( x  e.  ( ( K 
fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
) ) )
9388, 89, 91, 92syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 ( F  |`  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
9485, 87, 933bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) ) )
9594eqrdv 2294 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653    e. cmpt 4093   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770   neicnei 16850   limPtclp 16882   Filcfil 17556    fLimf cflf 17646   lim CC climc 19228
This theorem is referenced by:  limcmo  19248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-cnp 16974  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232
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