Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcflf Unicode version

Theorem limcflf 19247
 Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of restricted to , to the topology of the complexes. (If is not a limit point of , then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f
limcflf.a
limcflf.b
limcflf.k fld
limcflf.c
limcflf.l t
Assertion
Ref Expression
limcflf lim

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . . . . 11
21inex1 4171 . . . . . . . . . 10
32rgenw 2623 . . . . . . . . 9
4 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
5 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . 12
6 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13
7 resima2 5004 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
95, 8syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11
109sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10
114, 10rexrnmpt 5686 . . . . . . . . 9
123, 11mp1i 11 . . . . . . . 8
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10 t
14 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15
16 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . . 14
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . 13
20 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . 14
2120ssex 4174 . . . . . . . . . . . . 13
2219, 21syl 15 . . . . . . . . . . . 12
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
24 restval 13347 . . . . . . . . . . 11 t
2514, 23, 24sylancr 644 . . . . . . . . . 10 t
2613, 25syl5eq 2340 . . . . . . . . 9
2726rexeqdv 2756 . . . . . . . 8
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14 fld
2928cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . . . 13
30 opnneip 16872 . . . . . . . . . . . . 13
3129, 30mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12
32 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3315a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3432, 33ineq12d 3384 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . 14
3635sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . 13
3736rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12
3831, 37sylan 457 . . . . . . . . . . 11
3938anasss 628 . . . . . . . . . 10
4039rexlimiva 2675 . . . . . . . . 9
41 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
4228cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
4342toponunii 16686 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443neii1 16859 . . . . . . . . . . . . . 14
4529, 41, 44sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13
4643ntropn 16802 . . . . . . . . . . . . 13
4729, 45, 46sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
4829a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
4943lpss 16890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5029, 18, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5250, 51sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
5543neiint 16857 . . . . . . . . . . . . . . 15
5648, 54, 45, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
5741, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
5852ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14
59 snssg 3767 . . . . . . . . . . . . . 14
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
6157, 60mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12
6243ntrss2 16810 . . . . . . . . . . . . . . 15
6329, 45, 62sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14
64 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . . 14
65 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . 14
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
67 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12
69 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14
7015ineq2i 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7270, 71syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14
7569, 74anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
7675rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12
7747, 61, 68, 76syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11
7877expr 598 . . . . . . . . . 10
7978rexlimdva 2680 . . . . . . . . 9
8040, 79impbid2 195 . . . . . . . 8
8112, 27, 803bitr4rd 277 . . . . . . 7
8281anassrs 629 . . . . . 6
8382pm5.74da 668 . . . . 5
8483ralbidva 2572 . . . 4
8584pm5.32da 622 . . 3
86 limcflf.f . . . 4
8786, 18, 52, 28ellimc2 19243 . . 3 lim
8842a1i 10 . . . 4 TopOn
8986, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 19246 . . . 4
90 fssres 5424 . . . . 5
9186, 17, 90sylancl 643 . . . 4
92 isflf 17704 . . . 4 TopOn
9388, 89, 91, 92syl3anc 1182 . . 3
9485, 87, 933bitr4d 276 . 2 lim
9594eqrdv 2294 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   cin 3164   wss 3165  csn 3653   cmpt 4093   crn 4706   cres 4707  cima 4708  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751   ↾t crest 13341  ctopn 13342  ℂfldccnfld 16393  ctop 16647  TopOnctopon 16648  cnt 16770  cnei 16850  clp 16882  cfil 17556   cflf 17646   lim climc 19228 This theorem is referenced by:  limcmo  19248 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-cnp 16974  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232
 Copyright terms: Public domain W3C validator