Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcflf Structured version   Unicode version

Theorem limcflf 19768
 Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of restricted to , to the topology of the complexes. (If is not a limit point of , then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f
limcflf.a
limcflf.b
limcflf.k fld
limcflf.c
limcflf.l t
Assertion
Ref Expression
limcflf lim

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2959 . . . . . . . . . . 11
21inex1 4344 . . . . . . . . . 10
32rgenw 2773 . . . . . . . . 9
4 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
5 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . 12
6 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13
7 resima2 5179 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
95, 8syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
109sseq1d 3375 . . . . . . . . . 10
114, 10rexrnmpt 5879 . . . . . . . . 9
123, 11mp1i 12 . . . . . . . 8
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10 t
14 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15
16 difss 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . . 14
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . 13
20 cnex 9071 . . . . . . . . . . . . . 14
2120ssex 4347 . . . . . . . . . . . . 13
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2322ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
24 restval 13654 . . . . . . . . . . 11 t
2514, 23, 24sylancr 645 . . . . . . . . . 10 t
2613, 25syl5eq 2480 . . . . . . . . 9
2726rexeqdv 2911 . . . . . . . 8
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14 fld
2928cnfldtop 18818 . . . . . . . . . . . . 13
30 opnneip 17183 . . . . . . . . . . . . 13
3129, 30mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12
32 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3432, 33ineq12d 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . 14
3635sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . 13
3736rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12
3831, 37sylan 458 . . . . . . . . . . 11
3938anasss 629 . . . . . . . . . 10
4039rexlimiva 2825 . . . . . . . . 9
41 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13
4228cnfldtopon 18817 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
4342toponunii 16997 . . . . . . . . . . . . . 14
4443neii1 17170 . . . . . . . . . . . . 13
4529, 41, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
4643ntropn 17113 . . . . . . . . . . . 12
4729, 45, 46sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
4829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4943lpss 17206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5029, 18, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5250, 51sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352snssd 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14
5543neiint 17168 . . . . . . . . . . . . . 14
5648, 54, 45, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
5741, 56mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
5852ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13
59 snssg 3932 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6157, 60mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
6243ntrss2 17121 . . . . . . . . . . . . . 14
6329, 45, 62sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
64 ssrin 3566 . . . . . . . . . . . . 13
65 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . 13
6663, 64, 653syl 19 . . . . . . . . . . . 12
67 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67sstrd 3358 . . . . . . . . . . 11
69 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . 13
7015ineq2i 3539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7270, 71syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . 14
7473sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . 13
7569, 74anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
7675rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11
7747, 61, 68, 76syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10
7877rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . 9
7940, 78impbid2 196 . . . . . . . 8
8012, 27, 793bitr4rd 278 . . . . . . 7
8180anassrs 630 . . . . . 6
8281pm5.74da 669 . . . . 5
8382ralbidva 2721 . . . 4
8483pm5.32da 623 . . 3
85 limcflf.f . . . 4
8685, 18, 52, 28ellimc2 19764 . . 3 lim
8742a1i 11 . . . 4 TopOn
8885, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 19767 . . . 4
89 fssres 5610 . . . . 5
9085, 17, 89sylancl 644 . . . 4
91 isflf 18025 . . . 4 TopOn
9287, 88, 90, 91syl3anc 1184 . . 3
9384, 86, 923bitr4d 277 . 2 lim
9493eqrdv 2434 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  csn 3814   cmpt 4266   crn 4879   cres 4880  cima 4881  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988   ↾t crest 13648  ctopn 13649  ℂfldccnfld 16703  ctop 16958  TopOnctopon 16959  cnt 17081  cnei 17161  clp 17198  cfil 17877   cflf 17967   lim climc 19749 This theorem is referenced by:  limcmo  19769 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-cnp 17292  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753
 Copyright terms: Public domain W3C validator