MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limciun Structured version   Unicode version

Theorem limciun 19781
Description: A point is a limit of  F on the finite union  U_ x  e.  A B ( x ) iff it is the limit of the restriction of  F to each  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limciun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
limciun.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
limciun.3  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
limciun.4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
limciun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)

Proof of Theorem limciun
Dummy variables  g 
a  k  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 19762 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  CC
2 limcresi 19772 . . . . . 6  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )
32rgenw 2773 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( F lim CC  C )  C_  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )
4 ssiin 4141 . . . . 5  |-  ( ( F lim CC  C ) 
C_  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  A. x  e.  A  ( F lim CC  C ) 
C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
53, 4mpbir 201 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C )
61, 5ssini 3564 . . 3  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
8 elriin 4163 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
9 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  CC )
10 limciun.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1110ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A  e.  Fin )
12 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
13 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x F
14 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
1513, 14nfres 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
16 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x lim CC
17 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x C
1815, 16, 17nfov 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
1918nfcri 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
20 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
2120reseq2d 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( F  |`  B )  =  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) )
2221oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
2322eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2419, 23rspc 3046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2512, 24mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
26 limciun.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
28 ssiun2 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
)
29 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ a B
3029, 14, 20cbviun 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ x  e.  A  B  =  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
3128, 30syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B
)
3231adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )
33 fssres 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : U_ x  e.  A  B --> CC  /\  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
3427, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
35 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  A )
36 limciun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
38 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x CC
3914, 38nfss 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  C_  CC
4020sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( B  C_  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4139, 40rspc 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  C_  CC  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4235, 37, 41sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC )
43 limciun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  C  e.  CC )
45 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4634, 42, 44, 45ellimc2 19764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4746adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4825, 47mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
4948simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
50 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)
51 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  u )
52 rsp 2766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( y  e.  u  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  ->  ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3c 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
5453ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
55 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
56 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( TopOpen ` fld )
57 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x  C  e.  k
58 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
k
59 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x { C }
6014, 59nfdif 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } )
6158, 60nfin 3547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6215, 61nfima 5211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
63 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x u
6462, 63nfss 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
6557, 64nfan 1846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
)
6656, 65nfrex 2761 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
6720difeq1d 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  \  { C }
)  =  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6867ineq2d 3542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
6921, 68imaeq12d 5204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) )
7069sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
" ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7170anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7271rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  ( E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7355, 66, 72cbvral 2928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7454, 73sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
75 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  k  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
76 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )
7776imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
7877sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7975, 78anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8079ac6sfi 7351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. g
( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8111, 74, 80syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. g ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8245cnfldtop 18818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8382a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
84 frn 5597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
) )
8584ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen ` fld ) )
8611adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A  e.  Fin )
87 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  g  Fn  A )
8887ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g  Fn  A
)
89 dffn4 5659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  <->  g : A -onto-> ran  g )
9088, 89sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g : A -onto-> ran  g )
91 fofi 7392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  g : A -onto-> ran  g
)  ->  ran  g  e. 
Fin )
9286, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  e.  Fin )
9345cnfldtopon 18817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
9493toponunii 16997 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
9594rintopn 16982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\ 
ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
)  /\  ran  g  e. 
Fin )  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9683, 85, 92, 95syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9743adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  C  e.  CC )
9897ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  CC )
99 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ( g `
 x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  ->  C  e.  ( g `  x
) )
10099ralimi 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
101100ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
102 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  z  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
103102ralrn 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x
) ) )
10488, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) ) )
105101, 104mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. z  e.  ran  g  C  e.  z
)
106 elrint 4091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. z  e.  ran  g  C  e.  z ) )
10798, 105, 106sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g ) )
108 indifcom 3586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
109 iunin1 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )  =  ( U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )
110108, 109eqtr4i 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
111110imaeq2i 5201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
112 imaiun 5992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
113111, 112eqtri 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
114 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
C_  |^| ran  g
115 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ran  g
)
11687, 115sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( g `  x )  e.  ran  g )
117 intss1 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g `  x )  e.  ran  g  ->  |^| ran  g  C_  (
g `  x )
)
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  |^| ran  g  C_  ( g `  x
) )
119114, 118syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  x ) )
120119ssdifd 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
)  C_  ( (
g `  x )  \  { C } ) )
121 sslin 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } )  C_  (
( g `  x
)  \  { C } )  ->  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )  C_  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
122 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) )  C_  ( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( F " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) ) )
123120, 121, 1223syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) ) )
124 indifcom 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) )
125124imaeq2i 5201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
126 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) 
C_  B
127 resima2 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  i^i  ( ( g `  x ) 
\  { C }
) )  C_  B  ->  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )  =  ( F
" ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) ) )
128126, 127ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
129125, 128eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
130123, 129syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
131 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u )
)
133132adantld 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
134133ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
135134imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  (
g `  x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
136135adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
137 iunss 4132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
138136, 137sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
139113, 138syl5eqss 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( F "
( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
140 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( C  e.  v  <-> 
C  e.  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) ) )
141 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )
142141imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( F " (
v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) ) )
143142sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( F "
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u 
<->  ( F " (
( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )
144140, 143anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g )  /\  ( F " ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
145144rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  (
TopOpen ` fld )  /\  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  /\  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
14696, 107, 139, 145syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
14781, 146exlimddv 1648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
148147expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
149148ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
15026adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  F : U_ x  e.  A  B
--> CC )
151 iunss 4132 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  CC  <->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
15236, 151sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
153152adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
154150, 153, 97, 45ellimc2 19764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  (
y  e.  ( F lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1559, 149, 154mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C
) )
156155ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C ) ) )
1578, 156syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  -> 
y  e.  ( F lim
CC  C ) ) )
158157ssrdv 3354 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( F lim CC  C ) )
1597, 158eqssd 3365 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   [_csb 3251    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   |^|cint 4050   U_ciun 4093   |^|_ciin 4094   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958   lim CC climc 19749
This theorem is referenced by:  limcun  19782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cnp 17292  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753
  Copyright terms: Public domain W3C validator