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Theorem limciun 19244
Description: A point is a limit of  F on the finite union  U_ x  e.  A B ( x ) iff it is the limit of the restriction of  F to each  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limciun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
limciun.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
limciun.3  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
limciun.4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
limciun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)

Proof of Theorem limciun
Dummy variables  g 
a  k  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 19225 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  CC
2 limcresi 19235 . . . . . 6  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )
32rgenw 2610 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( F lim CC  C )  C_  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )
4 ssiin 3952 . . . . 5  |-  ( ( F lim CC  C ) 
C_  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  A. x  e.  A  ( F lim CC  C ) 
C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
53, 4mpbir 200 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C )
61, 5ssini 3392 . . 3  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
76a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
8 elriin 3974 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
9 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  CC )
10 limciun.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A  e.  Fin )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
13 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x F
14 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
1513, 14nfres 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
16 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x lim CC
17 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x C
1815, 16, 17nfov 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
1918nfcri 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
20 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
2120reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( F  |`  B )  =  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) )
2221oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
2322eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2419, 23rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2512, 24mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
26 limciun.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
28 ssiun2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
)
29 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ a B
3029, 14, 20cbviun 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ x  e.  A  B  =  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
3128, 30syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B
)
3231adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )
33 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : U_ x  e.  A  B --> CC  /\  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
3427, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
35 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  A )
36 limciun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
38 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x CC
3914, 38nfss 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  C_  CC
4020sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( B  C_  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4139, 40rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  C_  CC  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4235, 37, 41sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC )
43 limciun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  C  e.  CC )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4634, 42, 44, 45ellimc2 19227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4746adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4825, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
4948simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
50 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)
51 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  u )
52 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( y  e.  u  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  ->  ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3c 57 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
5453ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
55 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
56 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( TopOpen ` fld )
57 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x  C  e.  k
58 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
k
59 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x { C }
6014, 59nfdif 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } )
6158, 60nfin 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6215, 61nfima 5020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
63 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x u
6462, 63nfss 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
6557, 64nfan 1771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
)
6656, 65nfrex 2598 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
6720difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  \  { C }
)  =  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6867ineq2d 3370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
6921, 68imaeq12d 5013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) )
7069sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
" ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7170anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7271rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  ( E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7355, 66, 72cbvral 2760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7454, 73sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
75 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  k  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
76 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )
7776imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
7877sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7975, 78anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8079ac6sfi 7101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. g
( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8111, 74, 80syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. g ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8245cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
84 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
) )
8584ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen ` fld ) )
8611adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A  e.  Fin )
87 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  g  Fn  A )
8887ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g  Fn  A
)
89 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  Fn  A  <->  g : A -onto-> ran  g )
9088, 89sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g : A -onto-> ran  g )
91 fofi 7142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  g : A -onto-> ran  g
)  ->  ran  g  e. 
Fin )
9286, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  e.  Fin )
9345cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
9493toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
9594rintopn 16655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\ 
ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
)  /\  ran  g  e. 
Fin )  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9683, 85, 92, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9743adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  C  e.  CC )
9897ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  CC )
99 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( g `
 x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  ->  C  e.  ( g `  x
) )
10099ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
101100ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
102 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  z  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
103102ralrn 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x
) ) )
10488, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) ) )
105101, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. z  e.  ran  g  C  e.  z
)
106 elrint 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. z  e.  ran  g  C  e.  z ) )
10798, 105, 106sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g ) )
108 indifcom 3414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
109 iunin1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )  =  ( U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )
110108, 109eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
111110imaeq2i 5010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
112 imaiun 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
113111, 112eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
114 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
C_  |^| ran  g
115 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ran  g
)
11687, 115sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( g `  x )  e.  ran  g )
117 intss1 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g `  x )  e.  ran  g  ->  |^| ran  g  C_  (
g `  x )
)
118116, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  |^| ran  g  C_  ( g `  x
) )
119114, 118syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  x ) )
120 ssdif 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  C_  (
g `  x )  ->  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } )  C_  ( ( g `  x )  \  { C } ) )
121119, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
)  C_  ( (
g `  x )  \  { C } ) )
122 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } )  C_  (
( g `  x
)  \  { C } )  ->  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )  C_  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
123 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) )  C_  ( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( F " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) ) )
124121, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) ) )
125 indifcom 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) )
126125imaeq2i 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
127 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) 
C_  B
128 resima2 4988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  i^i  ( ( g `  x ) 
\  { C }
) )  C_  B  ->  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )  =  ( F
" ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) ) )
129127, 128ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
130126, 129eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
131124, 130syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
132 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u )
)
134133adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
135134ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
136135imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  (
g `  x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
137136adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
138 iunss 3943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
139137, 138sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
140113, 139syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( F "
( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
141 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( C  e.  v  <-> 
C  e.  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) ) )
142 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )
143142imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( F " (
v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) ) )
144143sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( F "
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u 
<->  ( F " (
( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )
145141, 144anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g )  /\  ( F " ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
146145rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  (
TopOpen ` fld )  /\  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  /\  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
14796, 107, 140, 146syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
148147ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  -> 
( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
149148exlimdv 1664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  -> 
( E. g ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  (
g `  x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
15081, 149mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
151150expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
152151ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
15326adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  F : U_ x  e.  A  B
--> CC )
154 iunss 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  CC  <->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
15536, 154sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
156155adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
157153, 156, 97, 45ellimc2 19227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  (
y  e.  ( F lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1589, 152, 157mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C
) )
159158ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C ) ) )
1608, 159syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  -> 
y  e.  ( F lim
CC  C ) ) )
161160ssrdv 3185 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( F lim CC  C ) )
1627, 161eqssd 3196 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   [_csb 3081    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   |^|cint 3862   U_ciun 3905   |^|_ciin 3906   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   lim CC climc 19212
This theorem is referenced by:  limcun  19245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216
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