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Theorem limciun 19260
Description: A point is a limit of  F on the finite union  U_ x  e.  A B ( x ) iff it is the limit of the restriction of  F to each  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limciun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
limciun.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
limciun.3  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
limciun.4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
limciun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)

Proof of Theorem limciun
Dummy variables  g 
a  k  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 19241 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  CC
2 limcresi 19251 . . . . . 6  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )
32rgenw 2623 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( F lim CC  C )  C_  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )
4 ssiin 3968 . . . . 5  |-  ( ( F lim CC  C ) 
C_  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  A. x  e.  A  ( F lim CC  C ) 
C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
53, 4mpbir 200 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C )
61, 5ssini 3405 . . 3  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
76a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
8 elriin 3990 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
9 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  CC )
10 limciun.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A  e.  Fin )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
13 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x F
14 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
1513, 14nfres 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
16 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x lim CC
17 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x C
1815, 16, 17nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
1918nfcri 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
20 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
2120reseq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( F  |`  B )  =  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) )
2221oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
2322eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2419, 23rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2512, 24mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
26 limciun.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
2726ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
28 ssiun2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
)
29 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ a B
3029, 14, 20cbviun 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ x  e.  A  B  =  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
3128, 30syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B
)
3231adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )
33 fssres 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : U_ x  e.  A  B --> CC  /\  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
3427, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
35 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  A )
36 limciun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
38 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x CC
3914, 38nfss 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  C_  CC
4020sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( B  C_  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4139, 40rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  C_  CC  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4235, 37, 41sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC )
43 limciun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  C  e.  CC )
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4634, 42, 44, 45ellimc2 19243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4746adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4825, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
4948simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
50 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)
51 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  u )
52 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( y  e.  u  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  ->  ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3c 57 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
5453ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
55 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
56 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( TopOpen ` fld )
57 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x  C  e.  k
58 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
k
59 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x { C }
6014, 59nfdif 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } )
6158, 60nfin 3388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6215, 61nfima 5036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
63 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x u
6462, 63nfss 3186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
6557, 64nfan 1783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
)
6656, 65nfrex 2611 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
6720difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  \  { C }
)  =  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6867ineq2d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
6921, 68imaeq12d 5029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) )
7069sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
" ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7170anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7271rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  ( E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7355, 66, 72cbvral 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7454, 73sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
75 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  k  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
76 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )
7776imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
7877sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7975, 78anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8079ac6sfi 7117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. g
( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8111, 74, 80syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. g ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8245cnfldtop 18309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
84 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
) )
8584ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen ` fld ) )
8611adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A  e.  Fin )
87 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  g  Fn  A )
8887ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g  Fn  A
)
89 dffn4 5473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  Fn  A  <->  g : A -onto-> ran  g )
9088, 89sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g : A -onto-> ran  g )
91 fofi 7158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  g : A -onto-> ran  g
)  ->  ran  g  e. 
Fin )
9286, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  e.  Fin )
9345cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
9493toponunii 16686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
9594rintopn 16671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\ 
ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
)  /\  ran  g  e. 
Fin )  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9683, 85, 92, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9743adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  C  e.  CC )
9897ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  CC )
99 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( g `
 x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  ->  C  e.  ( g `  x
) )
10099ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
101100ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
102 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  z  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
103102ralrn 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x
) ) )
10488, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) ) )
105101, 104mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. z  e.  ran  g  C  e.  z
)
106 elrint 3919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. z  e.  ran  g  C  e.  z ) )
10798, 105, 106sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g ) )
108 indifcom 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
109 iunin1 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )  =  ( U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )
110108, 109eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
111110imaeq2i 5026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
112 imaiun 5787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
113111, 112eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
114 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
C_  |^| ran  g
115 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ran  g
)
11687, 115sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( g `  x )  e.  ran  g )
117 intss1 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g `  x )  e.  ran  g  ->  |^| ran  g  C_  (
g `  x )
)
118116, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  |^| ran  g  C_  ( g `  x
) )
119114, 118syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  x ) )
120 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  C_  (
g `  x )  ->  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } )  C_  ( ( g `  x )  \  { C } ) )
121119, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
)  C_  ( (
g `  x )  \  { C } ) )
122 sslin 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } )  C_  (
( g `  x
)  \  { C } )  ->  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )  C_  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
123 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) )  C_  ( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( F " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) ) )
124121, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) ) )
125 indifcom 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) )
126125imaeq2i 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
127 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) 
C_  B
128 resima2 5004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  i^i  ( ( g `  x ) 
\  { C }
) )  C_  B  ->  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )  =  ( F
" ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) ) )
129127, 128ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
130126, 129eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
131124, 130syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
132 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u )
)
134133adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
135134ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
136135imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  (
g `  x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
137136adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
138 iunss 3959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
139137, 138sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
140113, 139syl5eqss 3235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( F "
( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
141 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( C  e.  v  <-> 
C  e.  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) ) )
142 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )
143142imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( F " (
v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) ) )
144143sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( F "
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u 
<->  ( F " (
( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )
145141, 144anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g )  /\  ( F " ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
146145rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  (
TopOpen ` fld )  /\  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  /\  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
14796, 107, 140, 146syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
148147ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  -> 
( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
149148exlimdv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  -> 
( E. g ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  (
g `  x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
15081, 149mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
151150expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
152151ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
15326adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  F : U_ x  e.  A  B
--> CC )
154 iunss 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  CC  <->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
15536, 154sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
156155adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
157153, 156, 97, 45ellimc2 19243 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  (
y  e.  ( F lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1589, 152, 157mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C
) )
159158ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C ) ) )
1608, 159syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  -> 
y  e.  ( F lim
CC  C ) ) )
161160ssrdv 3198 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( F lim CC  C ) )
1627, 161eqssd 3209 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   [_csb 3094    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   |^|cint 3878   U_ciun 3921   |^|_ciin 3922   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647   lim CC climc 19228
This theorem is referenced by:  limcun  19261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cnp 16974  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232
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