MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmo Unicode version

Theorem limcmo 19330
Description: If  B is a limit point of the domain of the function  F, then there is at most one limit value of  F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmo  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, K    x, A    ph, x

Proof of Theorem limcmo
StepHypRef Expression
1 limcflf.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 18390 . . . 4  |-  K  e. 
Haus
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
4 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
6 limcflf.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
7 eqid 2358 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  =  ( A 
\  { B }
)
8 eqid 2358 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) )
94, 5, 6, 1, 7, 8limcflflem 19328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) ) )
10 difss 3379 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11 fssres 5488 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( A  \  { B } )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
124, 10, 11sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  \  { B }
) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
131cnfldtopon 18388 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1413toponunii 16770 . . . 4  |-  CC  =  U. K
1514hausflf 17788 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) )  /\  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
163, 9, 12, 15syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
174, 5, 6, 1, 7, 8limcflf 19329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
1817eleq2d 2425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
1918mobidv 2244 . 2  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( F lim CC  B )  <->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
2016, 19mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   E*wmo 2210    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716    |` cres 4770   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   ↾t crest 13418   TopOpenctopn 13419  ℂfldccnfld 16476   neicnei 16934   limPtclp 16966   Hauscha 17136   Filcfil 17636    fLimf cflf 17726   lim CC climc 19310
This theorem is referenced by:  perfdvf  19351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-icc 10752  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-limc 19314
  Copyright terms: Public domain W3C validator