MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmo Structured version   Unicode version

Theorem limcmo 19800
Description: If  B is a limit point of the domain of the function  F, then there is at most one limit value of  F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmo  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, K    x, A    ph, x

Proof of Theorem limcmo
StepHypRef Expression
1 limcflf.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 18850 . . . 4  |-  K  e. 
Haus
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
4 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
6 limcflf.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
7 eqid 2442 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  =  ( A 
\  { B }
)
8 eqid 2442 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) )
94, 5, 6, 1, 7, 8limcflflem 19798 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) ) )
10 difss 3460 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11 fssres 5639 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( A  \  { B } )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
124, 10, 11sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  \  { B }
) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
131cnfldtopon 18848 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1413toponunii 17028 . . . 4  |-  CC  =  U. K
1514hausflf 18060 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) )  /\  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
163, 9, 12, 15syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
174, 5, 6, 1, 7, 8limcflf 19799 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
1817eleq2d 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
1918mobidv 2322 . 2  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( F lim CC  B )  <->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
2016, 19mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   E*wmo 2288    \ cdif 3303    C_ wss 3306   {csn 3838    |` cres 4909   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   ↾t crest 13679   TopOpenctopn 13680  ℂfldccnfld 16734   neicnei 17192   limPtclp 17229   Hauscha 17403   Filcfil 17908    fLimf cflf 17998   lim CC climc 19780
This theorem is referenced by:  perfdvf  19821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-icc 10954  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-limc 19784
  Copyright terms: Public domain W3C validator