MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmo Unicode version

Theorem limcmo 19726
Description: If  B is a limit point of the domain of the function  F, then there is at most one limit value of  F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmo  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, K    x, A    ph, x

Proof of Theorem limcmo
StepHypRef Expression
1 limcflf.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 18776 . . . 4  |-  K  e. 
Haus
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
4 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
6 limcflf.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
7 eqid 2408 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  =  ( A 
\  { B }
)
8 eqid 2408 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) )
94, 5, 6, 1, 7, 8limcflflem 19724 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) ) )
10 difss 3438 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11 fssres 5573 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( A  \  { B } )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
124, 10, 11sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  \  { B }
) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
131cnfldtopon 18774 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1413toponunii 16956 . . . 4  |-  CC  =  U. K
1514hausflf 17986 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) )  /\  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
163, 9, 12, 15syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
174, 5, 6, 1, 7, 8limcflf 19725 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
1817eleq2d 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
1918mobidv 2293 . 2  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( F lim CC  B )  <->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
2016, 19mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2259    \ cdif 3281    C_ wss 3284   {csn 3778    |` cres 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   ↾t crest 13607   TopOpenctopn 13608  ℂfldccnfld 16662   neicnei 17120   limPtclp 17157   Hauscha 17330   Filcfil 17834    fLimf cflf 17924   lim CC climc 19706
This theorem is referenced by:  perfdvf  19747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-icc 10883  df-fz 11004  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-limc 19710
  Copyright terms: Public domain W3C validator