MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt Structured version   Unicode version

Theorem limcmpt 19801
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
limcmpt.f  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
limcmpt.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcmpt.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcmpt.j . . 3  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
2 limcmpt.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3 nfcv 2578 . . . 4  |-  F/_ y if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )
4 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ z  y  =  B
5 nfcv 2578 . . . . 5  |-  F/_ z C
6 nffvmpt1 5765 . . . . 5  |-  F/_ z
( ( z  e.  A  |->  D ) `  y )
74, 5, 6nfif 3787 . . . 4  |-  F/_ z if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) )
8 eqeq1 2448 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  B  <->  y  =  B ) )
9 fveq2 5757 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  A  |->  D ) `  z
)  =  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y ) )
108, 9ifbieq2d 3783 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) ) )
113, 7, 10cbvmpt 4324 . . 3  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) ) )  =  ( y  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( y  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  y ) ) )
12 limcmpt.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
13 eqid 2442 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  D )  =  ( z  e.  A  |->  D )
1412, 13fmptd 5922 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  D ) : A --> CC )
15 limcmpt.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
16 limcmpt.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
171, 2, 11, 14, 15, 16ellimc 19791 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
18 elun 3474 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
19 elsn 3853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2019orbi2i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2118, 20bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
22 pm5.61 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
2322simplbi 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2421, 23sylanb 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2524adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  z  e.  A )
2624, 12sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  D  e.  CC )
2713fvmpt2 5841 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2825, 26, 27syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2928anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  z  =  B
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
3029ifeq2da 3789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( z  =  B ,  C ,  D
) )
3130mpteq2dva 4320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) ) )
3231eleq1d 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
3317, 32bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    u. cun 3304    C_ wss 3306   ifcif 3763   {csn 3838    e. cmpt 4291   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   ↾t crest 13679   TopOpenctopn 13680  ℂfldccnfld 16734    CnP ccnp 17320   lim CC climc 19780
This theorem is referenced by:  limcmpt2  19802  limccnp2  19810  limcco  19811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cnp 17323  df-xms 18381  df-ms 18382  df-limc 19784
  Copyright terms: Public domain W3C validator