MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt Unicode version

Theorem limcmpt 19758
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
limcmpt.f  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
limcmpt.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcmpt.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcmpt.j . . 3  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
2 limcmpt.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ y if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )
4 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ z  y  =  B
5 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ z C
6 nffvmpt1 5727 . . . . 5  |-  F/_ z
( ( z  e.  A  |->  D ) `  y )
74, 5, 6nfif 3755 . . . 4  |-  F/_ z if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) )
8 eqeq1 2441 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  B  <->  y  =  B ) )
9 fveq2 5719 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  A  |->  D ) `  z
)  =  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y ) )
108, 9ifbieq2d 3751 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) ) )
113, 7, 10cbvmpt 4291 . . 3  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) ) )  =  ( y  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( y  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  y ) ) )
12 limcmpt.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
13 eqid 2435 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  D )  =  ( z  e.  A  |->  D )
1412, 13fmptd 5884 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  D ) : A --> CC )
15 limcmpt.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
16 limcmpt.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
171, 2, 11, 14, 15, 16ellimc 19748 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
18 elun 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
19 elsn 3821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2019orbi2i 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2118, 20bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
22 pm5.61 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
2322simplbi 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2421, 23sylanb 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2524adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  z  e.  A )
2624, 12sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  D  e.  CC )
2713fvmpt2 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2825, 26, 27syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2928anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  z  =  B
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
3029ifeq2da 3757 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( z  =  B ,  C ,  D
) )
3130mpteq2dva 4287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) ) )
3231eleq1d 2501 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
3317, 32bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   ↾t crest 13636   TopOpenctopn 13637  ℂfldccnfld 16691    CnP ccnp 17277   lim CC climc 19737
This theorem is referenced by:  limcmpt2  19759  limccnp2  19767  limcco  19768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-fz 11033  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cnp 17280  df-xms 18338  df-ms 18339  df-limc 19741
  Copyright terms: Public domain W3C validator