MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem limcmpt2 19773
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
limcmpt2.f  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
limcmpt2.j  |-  J  =  ( Kt  A )
limcmpt2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt2
StepHypRef Expression
1 limcmpt2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
21ssdifssd 3487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
3 limcmpt2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
41, 3sseldd 3351 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 eldifsn 3929 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
6 limcmpt2.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
75, 6sylan2b 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  D  e.  CC )
8 eqid 2438 . . 3  |-  ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )
9 limcmpt2.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
102, 4, 7, 8, 9limcmpt 19772 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
11 undif1 3705 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
123snssd 3945 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { B }  C_  A )
13 ssequn2 3522 . . . . . 6  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1412, 13sylib 190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1511, 14syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
1615mpteq1d 4292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
) )
1715oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( Kt  A ) )
18 limcmpt2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  A )
1917, 18syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  J )
2019oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K )  =  ( J  CnP  K ) )
2120fveq1d 5732 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  =  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) )
2216, 21eleq12d 2506 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
2310, 22bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   ↾t crest 13650   TopOpenctopn 13651  ℂfldccnfld 16705    CnP ccnp 17291   lim CC climc 19751
This theorem is referenced by:  dvcnp  19807
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cnp 17294  df-xms 18352  df-ms 18353  df-limc 19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator