MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcnlp Structured version   Unicode version

Theorem limcnlp 19765
Description: If  B is not a limit point of the domain of the function  F, then every point is a limit of  F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limccl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limccl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
ellimc2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcnlp.n  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A ) )
Assertion
Ref Expression
limcnlp  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  CC )

Proof of Theorem limcnlp
Dummy variables  x  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 limccl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3 limccl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 ellimc2.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
51, 2, 3, 4ellimc2 19764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
64cnfldtop 18818 . . . . . . . . . 10  |-  K  e. 
Top
72adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
87ssdifssd 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A 
\  { B }
)  C_  CC )
94cnfldtopon 18817 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
109toponunii 16997 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. K
1110clscld 17111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  \  { B } )  C_  CC )  ->  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) )  e.  (
Clsd `  K )
)
126, 8, 11sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) )  e.  ( Clsd `  K
) )
1310cldopn 17095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Clsd `  K )  ->  ( CC  \  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  e.  K )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  e.  K )
15 limcnlp.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A ) )
1610islp 17204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  CC )  -> 
( B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A )  <->  B  e.  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) )
176, 2, 16sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A )  <->  B  e.  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) )
1815, 17mtbid 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )
193, 18eldifd 3331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2019adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) )
21 difin2 3603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  CC  ->  ( ( A  \  { B } )  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
228, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A  \  { B } )  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
2310sscls 17120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  \  { B } )  C_  CC )  ->  ( A  \  { B } )  C_  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )
246, 8, 23sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A 
\  { B }
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B } ) ) )
25 ssdif0 3686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) )  <->  ( ( A 
\  { B }
)  \  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  (/) )
2624, 25sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A  \  { B } )  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  (/) )
2722, 26eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =  (/) )
2827imaeq2d 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( F " (/) ) )
29 ima0 5221 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  =  (/) )
31 0ss 3656 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  u
3230, 31syl6eqss 3398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u )
33 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( B  e.  v  <->  B  e.  ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
34 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  (
v  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )
3534imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( F "
( ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A  \  { B }
) ) ) )
3635sseq1d 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  (
( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u  <->  ( F " ( ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  u ) )
3733, 36anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  (
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  /\  ( F " ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
3837rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  e.  K  /\  ( B  e.  ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  /\  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
3914, 20, 32, 38syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
4039a1d 23 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
4140ralrimivw 2790 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
4241ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  ->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) )
4342pm4.71d 616 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
445, 43bitr4d 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  CC ) )
4544eqrdv 2434 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703   Topctop 16958   Clsdccld 17080   clsccl 17082   limPtclp 17198   lim CC climc 19749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cls 17085  df-lp 17200  df-cnp 17292  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753
  Copyright terms: Public domain W3C validator