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Theorem limcres 19252
Description: If  B is an interior point of  C  u.  { B } relative to the domain  A, then a limit point of  F  |`  C extends to a limit of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcres.c  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
limcres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcres.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcres.i  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `
 ( C  u.  { B } ) ) )
Assertion
Ref Expression
limcres  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  =  ( F lim CC  B ) )

Proof of Theorem limcres
Dummy variables  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 19240 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  ( ( F  |`  C ) : dom  ( F  |`  C ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  C ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
21simp3d 969 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  B  e.  CC )
3 limccl 19241 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  C_  CC
43sseli 3189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  x  e.  CC )
52, 4jca 518 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
65a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  -> 
( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) ) )
7 limcrcl 19240 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
87simp3d 969 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
9 limccl 19241 . . . . . 6  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
109sseli 3189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  CC )
118, 10jca 518 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
1211a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) ) )
13 limcres.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
14 limcres.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
1514cnfldtopon 18308 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1716adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  A  C_  CC )
18 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
1918snssd 3776 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  { B }  C_  CC )
2017, 19unssd 3364 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  C_  CC )
21 resttopon 16908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
2215, 20, 21sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
2313, 22syl5eqel 2380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
24 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  J  e.  Top )
2523, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  J  e.  Top )
26 limcres.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
2726adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  C  C_  A )
28 unss1 3357 . . . . . . . 8  |-  ( C 
C_  A  ->  ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } ) )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } ) )
30 toponuni 16681 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( A  u.  { B } )  =  U. J )
3123, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  =  U. J )
3229, 31sseqtrd 3227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( C  u.  { B } )  C_  U. J
)
33 limcres.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `
 ( C  u.  { B } ) ) )
3433adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `  ( C  u.  { B } ) ) )
35 elun 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
36 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  CC )
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  F : A --> CC )
3938ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
40 ifcl 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4136, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z
) )  e.  CC )
42 elsni 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { B }  ->  z  =  B )
4342adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  z  =  B )
44 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  =  x )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  =  x )
46 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  x  e.  CC )
4745, 46eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4841, 47jaodan 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4935, 48sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if (
z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
50 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
5149, 50fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )
5231feq2d 5396 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J --> CC ) )
5351, 52mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J --> CC )
54 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
5515toponunii 16686 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. K
5654, 55cnprest 17033 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( C  u.  { B } )  C_  U. J
)  /\  ( B  e.  ( ( int `  J
) `  ( C  u.  { B } ) )  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J
--> CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5725, 32, 34, 53, 56syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5813, 14, 50, 38, 17, 18ellimc 19239 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
59 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B } ) )
60 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )
61 fssres 5424 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
6238, 27, 61syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
6327, 17sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  C  C_  CC )
6459, 14, 60, 62, 63, 18ellimc 19239 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
65 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) )
6629, 65syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) )
67 elun 3329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  e.  { B } ) )
68 elsn 3668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
6968orbi2i 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  =  B ) )
7067, 69bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  =  B ) )
71 pm5.61 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  C  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  C  /\  -.  z  =  B ) )
72 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  -.  z  =  B
)  ->  ( ( F  |`  C ) `  z )  =  ( F `  z ) )
7471, 73sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  C  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  ->  (
( F  |`  C ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
7574ifeq2da 3604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  \/  z  =  B )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z
) )  =  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7670, 75sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) )  =  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7776mpteq2ia 4118 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7866, 77syl6reqr 2347 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  =  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) ) )
7913oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )t  ( C  u.  { B } ) )
8015a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
81 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
8281ssex 4174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  { B } )  C_  CC  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
8320, 82syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  e.  _V )
84 restabs 16912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } )  /\  ( A  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )t  ( C  u.  { B }
) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B } ) ) )
8580, 29, 83, 84syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )t  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B }
) ) )
8679, 85syl5req 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( Kt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Jt  ( C  u.  { B }
) ) )
8786oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( Kt  ( C  u.  { B }
) )  CnP  K
)  =  ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) )
8887fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  =  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8978, 88eleq12d 2364 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9064, 89bitrd 244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9157, 58, 903bitr4rd 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) )
9291ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
936, 12, 92pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) )
9493eqrdv 2294 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  =  ( F lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770    CnP ccnp 16971   lim CC climc 19228
This theorem is referenced by:  dvreslem  19275  dvaddbr  19303  dvmulbr  19304  lhop2  19378  lhop  19379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-cnp 16974  df-xms 17901  df-ms 17902  df-limc 19232
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