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Theorem limcres 19774
Description: If  B is an interior point of  C  u.  { B } relative to the domain  A, then a limit point of  F  |`  C extends to a limit of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcres.c  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
limcres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcres.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcres.i  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `
 ( C  u.  { B } ) ) )
Assertion
Ref Expression
limcres  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  =  ( F lim CC  B ) )

Proof of Theorem limcres
Dummy variables  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 19762 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  ( ( F  |`  C ) : dom  ( F  |`  C ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  C ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
21simp3d 972 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  B  e.  CC )
3 limccl 19763 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  C_  CC
43sseli 3345 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  x  e.  CC )
52, 4jca 520 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  -> 
( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) ) )
7 limcrcl 19762 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
87simp3d 972 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
9 limccl 19763 . . . . . 6  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
109sseli 3345 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  CC )
118, 10jca 520 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) ) )
13 limcres.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
14 limcres.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
1514cnfldtopon 18818 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1716adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  A  C_  CC )
18 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
1918snssd 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  { B }  C_  CC )
2017, 19unssd 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  C_  CC )
21 resttopon 17226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
2215, 20, 21sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
2313, 22syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
24 topontop 16992 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  J  e.  Top )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  J  e.  Top )
26 limcres.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
2726adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  C  C_  A )
28 unss1 3517 . . . . . . . 8  |-  ( C 
C_  A  ->  ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } ) )
30 toponuni 16993 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( A  u.  { B } )  =  U. J )
3123, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  =  U. J )
3229, 31sseqtrd 3385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( C  u.  { B } )  C_  U. J
)
33 limcres.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `
 ( C  u.  { B } ) ) )
3433adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `  ( C  u.  { B } ) ) )
35 elun 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
36 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  CC )
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3837adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  F : A --> CC )
3938ffvelrnda 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
40 ifcl 3776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4136, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z
) )  e.  CC )
42 elsni 3839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { B }  ->  z  =  B )
4342adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  z  =  B )
44 iftrue 3746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  =  x )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  =  x )
46 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  x  e.  CC )
4745, 46eqeltrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4841, 47jaodan 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4935, 48sylan2b 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if (
z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
50 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
5149, 50fmptd 5894 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )
5231feq2d 5582 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J --> CC ) )
5351, 52mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J --> CC )
54 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
5515toponunii 16998 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. K
5654, 55cnprest 17354 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( C  u.  { B } )  C_  U. J
)  /\  ( B  e.  ( ( int `  J
) `  ( C  u.  { B } ) )  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J
--> CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5725, 32, 34, 53, 56syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5813, 14, 50, 38, 17, 18ellimc 19761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
59 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B } ) )
60 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )
61 fssres 5611 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
6238, 27, 61syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
6327, 17sstrd 3359 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  C  C_  CC )
6459, 14, 60, 62, 63, 18ellimc 19761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
65 resmpt 5192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) )
6629, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) )
67 elun 3489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  e.  { B } ) )
68 elsn 3830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
6968orbi2i 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  =  B ) )
7067, 69bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  =  B ) )
71 pm5.61 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  C  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  C  /\  -.  z  =  B ) )
72 fvres 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
7372adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  -.  z  =  B
)  ->  ( ( F  |`  C ) `  z )  =  ( F `  z ) )
7471, 73sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  C  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  ->  (
( F  |`  C ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
7574ifeq2da 3766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  \/  z  =  B )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z
) )  =  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7670, 75sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) )  =  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7776mpteq2ia 4292 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7866, 77syl6reqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  =  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) ) )
7913oveq1i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )t  ( C  u.  { B } ) )
8015a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
81 cnex 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
8281ssex 4348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  { B } )  C_  CC  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
8320, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  e.  _V )
84 restabs 17230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } )  /\  ( A  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )t  ( C  u.  { B }
) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B } ) ) )
8580, 29, 83, 84syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )t  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B }
) ) )
8679, 85syl5req 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( Kt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Jt  ( C  u.  { B }
) ) )
8786oveq1d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( Kt  ( C  u.  { B }
) )  CnP  K
)  =  ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) )
8887fveq1d 5731 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  =  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8978, 88eleq12d 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9064, 89bitrd 246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9157, 58, 903bitr4rd 279 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) )
9291ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
936, 12, 92pm5.21ndd 345 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) )
9493eqrdv 2435 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  =  ( F lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   ifcif 3740   {csn 3815   U.cuni 4016    e. cmpt 4267   dom cdm 4879    |` cres 4881   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650  ℂfldccnfld 16704   Topctop 16959  TopOnctopon 16960   intcnt 17082    CnP ccnp 17290   lim CC climc 19750
This theorem is referenced by:  dvreslem  19797  dvaddbr  19825  dvmulbr  19826  lhop2  19900  lhop  19901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-fz 11045  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-ntr 17085  df-cnp 17293  df-xms 18351  df-ms 18352  df-limc 19754
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