MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcresi Structured version   Unicode version

Theorem limcresi 19772
Description: Any limit of  F is also a limit of the restriction of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcresi  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )

Proof of Theorem limcresi
Dummy variables  v  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 19761 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
21simp1d 969 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  F : dom  F --> CC )
31simp2d 970 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  dom  F 
C_  CC )
41simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
62, 3, 4, 5ellimc2 19764 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) ) ) )
76ibi 233 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) ) )
8 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  i^i  ( ( dom 
F  i^i  C )  \  { B } ) )  C_  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
)
9 difss 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  ( dom  F  i^i  C )
10 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  C )  C_  C
119, 10sstri 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  C
128, 11sstri 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  i^i  ( ( dom 
F  i^i  C )  \  { B } ) )  C_  C
13 resima2 5179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } ) )  C_  C  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  =  ( F " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) )  =  ( F "
( v  i^i  (
( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) )
15 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  i^i  C )  C_ 
dom  F
16 ssdif 3482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  C_  dom  F  -> 
( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } )
18 sslin 3567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } )  ->  (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) )  C_  (
v  i^i  ( dom  F 
\  { B }
) ) )
19 imass2 5240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } ) )  C_  ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) )  -> 
( F " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) ) )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )
2114, 20eqsstri 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )
22 sstr 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  /\  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  u )
2321, 22mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  u )
2423anim2i 553 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u
)  ->  ( B  e.  v  /\  (
( F  |`  C )
" ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
2524reximi 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) ) 
C_  u )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
2625imim2i 14 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
2726ralimi 2781 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
)  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
2827anim2i 553 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
297, 28syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
30 fresin 5612 . . . . 5  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  |`  C ) : ( dom  F  i^i  C ) --> CC )
312, 30syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F  |`  C ) : ( dom  F  i^i  C ) --> CC )
3215, 3syl5ss 3359 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( dom  F  i^i  C ) 
C_  CC )
3331, 32, 4, 5ellimc2 19764 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
3429, 33mpbird 224 . 2  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B ) )
3534ssriv 3352 1  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   TopOpenctopn 13649  ℂfldccnfld 16703   lim CC climc 19749
This theorem is referenced by:  limciun  19781  dvres2lem  19797  dvidlem  19802  dvcnp2  19806  dvcobr  19832  dvcnvlem  19860  lhop1lem  19897  lhop2  19899  lhop  19900  taylthlem2  20290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cnp 17292  df-xms 18350  df-ms 18351  df-limc 19753
  Copyright terms: Public domain W3C validator