Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Unicode version

Theorem limcun 19784
 Description: A point is a limit of on iff it is the limit of the restriction of to and to . (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1
limcun.2
limcun.3
Assertion
Ref Expression
limcun lim lim lim

Proof of Theorem limcun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 19763 . . . . 5 lim
21simp3d 972 . . . 4 lim
32a1i 11 . . 3 lim
4 inss1 3563 . . . . . 6 lim lim lim
54sseli 3346 . . . . 5 lim lim lim
6 limcrcl 19763 . . . . . 6 lim
76simp3d 972 . . . . 5 lim
85, 7syl 16 . . . 4 lim lim
98a1i 11 . . 3 lim lim
10 prfi 7383 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7
12 limcun.1 . . . . . . . . 9
1312adantr 453 . . . . . . . 8
14 limcun.2 . . . . . . . . 9
1514adantr 453 . . . . . . . 8
16 cnex 9073 . . . . . . . . . . 11
1716ssex 4349 . . . . . . . . . 10
1813, 17syl 16 . . . . . . . . 9
1916ssex 4349 . . . . . . . . . 10
2015, 19syl 16 . . . . . . . . 9
21 sseq1 3371 . . . . . . . . . 10
22 sseq1 3371 . . . . . . . . . 10
2321, 22ralprg 3859 . . . . . . . . 9
2418, 20, 23syl2anc 644 . . . . . . . 8
2513, 15, 24mpbir2and 890 . . . . . . 7
26 limcun.3 . . . . . . . . 9
2726adantr 453 . . . . . . . 8
28 uniiun 4146 . . . . . . . . . 10
29 uniprg 4032 . . . . . . . . . . 11
3018, 20, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
3128, 30syl5eqr 2484 . . . . . . . . 9
3231feq2d 5583 . . . . . . . 8
3327, 32mpbird 225 . . . . . . 7
34 simpr 449 . . . . . . 7
3511, 25, 33, 34limciun 19783 . . . . . 6 lim lim
3635eleq2d 2505 . . . . 5 lim lim
37 reseq2 5143 . . . . . . . . . . . 12
3837oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11 lim lim
3938eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10 lim lim
40 reseq2 5143 . . . . . . . . . . . 12
4140oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11 lim lim
4241eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10 lim lim
4339, 42ralprg 3859 . . . . . . . . 9 lim lim lim
4418, 20, 43syl2anc 644 . . . . . . . 8 lim lim lim
4544anbi2d 686 . . . . . . 7 lim lim lim
46 limccl 19764 . . . . . . . . . 10 lim
4746sseli 3346 . . . . . . . . 9 lim
4847adantr 453 . . . . . . . 8 lim lim
4948pm4.71ri 616 . . . . . . 7 lim lim lim lim
5045, 49syl6bbr 256 . . . . . 6 lim lim lim
51 elriin 4165 . . . . . 6 lim lim
52 elin 3532 . . . . . 6 lim lim lim lim
5350, 51, 523bitr4g 281 . . . . 5 lim lim lim
5436, 53bitrd 246 . . . 4 lim lim lim
5554ex 425 . . 3 lim lim lim
563, 9, 55pm5.21ndd 345 . 2 lim lim lim
5756eqrdv 2436 1 lim lim lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cun 3320   cin 3321   wss 3322  cpr 3817  cuni 4017  ciun 4095  ciin 4096   cdm 4880   cres 4882  wf 5452  (class class class)co 6083  cfn 7111  cc 8990   lim climc 19751 This theorem is referenced by:  lhop  19902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cnp 17294  df-xms 18352  df-ms 18353  df-limc 19755
 Copyright terms: Public domain W3C validator