MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Unicode version

Theorem limcun 19784
Description: A point is a limit of  F on  A  u.  B iff it is the limit of the restriction of  F to  A and to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcun.2  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
limcun.3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
Assertion
Ref Expression
limcun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )

Proof of Theorem limcun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 19763 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
21simp3d 972 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC ) )
4 inss1 3563 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )
54sseli 3346 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C ) )
6 limcrcl 19763 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
76simp3d 972 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  C  e.  CC )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  C  e.  CC )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )  ->  C  e.  CC ) )
10 prfi 7383 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
12 limcun.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1312adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
14 limcun.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1514adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  C_  CC )
16 cnex 9073 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
1716ssex 4349 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  CC  ->  A  e. 
_V )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  e. 
_V )
1916ssex 4349 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  CC  ->  B  e. 
_V )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e. 
_V )
21 sseq1 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  CC  <->  A  C_  CC ) )
22 sseq1 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  CC  <->  B  C_  CC ) )
2321, 22ralprg 3859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } y  C_  CC  <->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC ) ) )
2418, 20, 23syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC 
<->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )
) )
2513, 15, 24mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC )
26 limcun.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
2726adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F :
( A  u.  B
) --> CC )
28 uniiun 4146 . . . . . . . . . 10  |-  U. { A ,  B }  =  U_ y  e.  { A ,  B }
y
29 uniprg 4032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3018, 20, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B ) )
3128, 30syl5eqr 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U_ y  e.  { A ,  B } y  =  ( A  u.  B ) )
3231feq2d 5583 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F : U_ y  e. 
{ A ,  B } y --> CC  <->  F :
( A  u.  B
) --> CC ) )
3327, 32mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F : U_ y  e.  { A ,  B } y --> CC )
34 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
3511, 25, 33, 34limciun 19783 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F lim
CC  C )  =  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) ) )
3635eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C
) ) ) )
37 reseq2 5143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  A ) )
3837oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
) )
3938eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C ) ) )
40 reseq2 5143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
4140oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
4241eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
4339, 42ralprg 3859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4418, 20, 43syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4544anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
46 limccl 19764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  C_  CC
4746sseli 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  x  e.  CC )
4847adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  x  e.  CC )
4948pm4.71ri 616 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5045, 49syl6bbr 256 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) ) ) )
51 elriin 4165 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )
) )
52 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
5350, 51, 523bitr4g 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5436, 53bitrd 246 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5554ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
563, 9, 55pm5.21ndd 345 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5756eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {cpr 3817   U.cuni 4017   U_ciun 4095   |^|_ciin 4096   dom cdm 4880    |` cres 4882   -->wf 5452  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   lim CC climc 19751
This theorem is referenced by:  lhop  19902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cnp 17294  df-xms 18352  df-ms 18353  df-limc 19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator