MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcvallem Structured version   Unicode version

Theorem limcvallem 19750
Description: Lemma for ellimc 19752. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcval.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcval.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcvallem.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
limcvallem  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  C  e.  CC ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, K    z, C
Allowed substitution hints:    G( z)    J( z)

Proof of Theorem limcvallem
StepHypRef Expression
1 ssun2 3503 . . . 4  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
2 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  B  e.  CC )
3 snssg 3924 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
51, 4mpbiri 225 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
6 limcval.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
7 limcval.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
87cnfldtopon 18809 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
9 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  A  C_  CC )
102snssd 3935 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  { B }  C_  CC )
119, 10unssd 3515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( A  u.  { B } ) 
C_  CC )
12 resttopon 17217 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
138, 11, 12sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
146, 13syl5eqel 2519 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
158a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
16 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
17 cnpf2 17306 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  G :
( A  u.  { B } ) --> CC )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  G :
( A  u.  { B } ) --> CC )
19 limcvallem.g . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
2019fmpt 5882 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( A  u.  { B } ) if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  e.  CC  <->  G : ( A  u.  { B } ) --> CC )
2118, 20sylibr 204 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  A. z  e.  ( A  u.  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
22 iftrue 3737 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  C )
2322eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
2423rspcv 3040 . . 3  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( A. z  e.  ( A  u.  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
255, 21, 24sylc 58 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  C  e.  CC )
2625ex 424 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  C  e.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    u. cun 3310    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695  TopOnctopon 16951    CnP ccnp 17281
This theorem is referenced by:  limcfval  19751  ellimc  19752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cnp 17284  df-xms 18342  df-ms 18343
  Copyright terms: Public domain W3C validator