MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcvallem Unicode version

Theorem limcvallem 19618
Description: Lemma for ellimc 19620. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcval.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcval.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcvallem.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
Assertion
Ref Expression
limcvallem  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  C  e.  CC ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, F    z, K    z, C
Allowed substitution hints:    G( z)    J( z)

Proof of Theorem limcvallem
StepHypRef Expression
1 ssun2 3447 . . . 4  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
2 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  B  e.  CC )
3 snssg 3868 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
51, 4mpbiri 225 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  B  e.  ( A  u.  { B } ) )
6 limcval.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
7 limcval.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
87cnfldtopon 18681 . . . . . . 7  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
9 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  A  C_  CC )
102snssd 3879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  { B }  C_  CC )
119, 10unssd 3459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( A  u.  { B } ) 
C_  CC )
12 resttopon 17140 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
138, 11, 12sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
146, 13syl5eqel 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
158a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
16 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) )
17 cnpf2 17229 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  G :
( A  u.  { B } ) --> CC )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  G :
( A  u.  { B } ) --> CC )
19 limcvallem.g . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) ) )
2019fmpt 5822 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( A  u.  { B } ) if ( z  =  B ,  C , 
( F `  z
) )  e.  CC  <->  G : ( A  u.  { B } ) --> CC )
2118, 20sylibr 204 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  A. z  e.  ( A  u.  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
22 iftrue 3681 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  =  C )
2322eleq1d 2446 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  ( if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
2423rspcv 2984 . . 3  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( A. z  e.  ( A  u.  { B } ) if ( z  =  B ,  C ,  ( F `  z ) )  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
255, 21, 24sylc 58 . 2  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
)  ->  C  e.  CC )
2625ex 424 1  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  ->  C  e.  CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    u. cun 3254    C_ wss 3256   ifcif 3675   {csn 3750    e. cmpt 4200   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   ↾t crest 13568   TopOpenctopn 13569  ℂfldccnfld 16619  TopOnctopon 16875    CnP ccnp 17204
This theorem is referenced by:  limcfval  19619  ellimc  19620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-fz 10969  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cnp 17207  df-xms 18252  df-ms 18253
  Copyright terms: Public domain W3C validator