MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Structured version   Unicode version

Theorem limensuci 7283
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limensuci  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5  |-  Lim  A
21limenpsi 7282 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  ( A  \  { (/)
} ) )
32ensymd 7158 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { (/) } ) 
~~  A )
4 0ex 4339 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
5 en2sn 7186 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
64, 5mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
7 incom 3533 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )
8 disjdif 3700 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )  =  (/)
97, 8eqtri 2456 . . . 4  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)
10 limord 4640 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
111, 10ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Ord  A
12 ordirr 4599 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
14 disjsn 3868 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
1513, 14mpbir 201 . . . 4  |-  ( A  i^i  { A }
)  =  (/)
16 unen 7189 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  \  { (/) } )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  /\  ( ( ( A 
\  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  { (/) } )  u.  { (/) } ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
179, 15, 16mpanr12 667 . . 3  |-  ( ( ( A  \  { (/)
} )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
183, 6, 17syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
19 0ellim 4643 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
201, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  (/)  e.  A
214snss 3926 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  { (/) }  C_  A
)
2220, 21mpbi 200 . . . 4  |-  { (/) } 
C_  A
23 undif 3708 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  A  <->  ( { (/)
}  u.  ( A 
\  { (/) } ) )  =  A )
2422, 23mpbi 200 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  A
25 uncom 3491 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
2624, 25eqtr3i 2458 . 2  |-  A  =  ( ( A  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
27 df-suc 4587 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
2818, 26, 273brtr4g 4244 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212   Ord word 4580   Lim wlim 4582   suc csuc 4583    ~~ cen 7106
This theorem is referenced by:  limensuc  7284  infensuc  7285  omensuc  7610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111
  Copyright terms: Public domain W3C validator