MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Unicode version

Theorem limensuci 7037
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limensuci  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5  |-  Lim  A
21limenpsi 7036 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  ( A  \  { (/)
} ) )
3 ensym 6910 . . . 4  |-  ( A 
~~  ( A  \  { (/) } )  -> 
( A  \  { (/)
} )  ~~  A
)
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { (/) } ) 
~~  A )
5 0ex 4150 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
6 en2sn 6940 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
75, 6mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
8 incom 3361 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )
9 disjdif 3526 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )  =  (/)
108, 9eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)
11 limord 4451 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
121, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Ord  A
13 ordirr 4410 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1412, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
15 disjsn 3693 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
1614, 15mpbir 200 . . . 4  |-  ( A  i^i  { A }
)  =  (/)
17 unen 6943 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  \  { (/) } )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  /\  ( ( ( A 
\  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  { (/) } )  u.  { (/) } ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
1810, 16, 17mpanr12 666 . . 3  |-  ( ( ( A  \  { (/)
} )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
194, 7, 18syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
20 0ellim 4454 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
211, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  (/)  e.  A
225snss 3748 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  { (/) }  C_  A
)
2321, 22mpbi 199 . . . 4  |-  { (/) } 
C_  A
24 undif 3534 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  A  <->  ( { (/)
}  u.  ( A 
\  { (/) } ) )  =  A )
2523, 24mpbi 199 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  A
26 uncom 3319 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
2725, 26eqtr3i 2305 . 2  |-  A  =  ( ( A  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
28 df-suc 4398 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
2919, 27, 283brtr4g 4055 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   Ord word 4391   Lim wlim 4393   suc csuc 4394    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  limensuc  7038  infensuc  7039  omensuc  7356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865
  Copyright terms: Public domain W3C validator