MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuci Unicode version

Theorem limensuci 7053
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
limensuci.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limensuci  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )

Proof of Theorem limensuci
StepHypRef Expression
1 limensuci.1 . . . . 5  |-  Lim  A
21limenpsi 7052 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  ( A  \  { (/)
} ) )
3 ensym 6926 . . . 4  |-  ( A 
~~  ( A  \  { (/) } )  -> 
( A  \  { (/)
} )  ~~  A
)
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  { (/) } ) 
~~  A )
5 0ex 4166 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
6 en2sn 6956 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
75, 6mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { (/) } 
~~  { A }
)
8 incom 3374 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )
9 disjdif 3539 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( A  \  { (/) } ) )  =  (/)
108, 9eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( A  \  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)
11 limord 4467 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
121, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Ord  A
13 ordirr 4426 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
1412, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
15 disjsn 3706 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  { A } )  =  (/)  <->  -.  A  e.  A )
1614, 15mpbir 200 . . . 4  |-  ( A  i^i  { A }
)  =  (/)
17 unen 6959 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  \  { (/) } )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  /\  ( ( ( A 
\  { (/) } )  i^i  { (/) } )  =  (/)  /\  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  { (/) } )  u.  { (/) } ) 
~~  ( A  u.  { A } ) )
1810, 16, 17mpanr12 666 . . 3  |-  ( ( ( A  \  { (/)
} )  ~~  A  /\  { (/) }  ~~  { A } )  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
194, 7, 18syl2anc 642 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  ~~  ( A  u.  { A } ) )
20 0ellim 4470 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
211, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  (/)  e.  A
225snss 3761 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  A  <->  { (/) }  C_  A
)
2321, 22mpbi 199 . . . 4  |-  { (/) } 
C_  A
24 undif 3547 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  A  <->  ( { (/)
}  u.  ( A 
\  { (/) } ) )  =  A )
2523, 24mpbi 199 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  A
26 uncom 3332 . . 3  |-  ( {
(/) }  u.  ( A  \  { (/) } ) )  =  ( ( A  \  { (/) } )  u.  { (/) } )
2725, 26eqtr3i 2318 . 2  |-  A  =  ( ( A  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
28 df-suc 4414 . 2  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
2919, 27, 283brtr4g 4071 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~~  suc  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039   Ord word 4407   Lim wlim 4409   suc csuc 4410    ~~ cen 6876
This theorem is referenced by:  limensuc  7054  infensuc  7055  omensuc  7372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881
  Copyright terms: Public domain W3C validator