Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limfn Unicode version

Theorem limfn 25668
Description: The limits of a function are elements of its range. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
limfn.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
limfn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( J  fLimf  L ) `  F ) 
C_  X )

Proof of Theorem limfn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limfn.x . . . . 5  |-  X  = 
U. J
21toptopon 16687 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 isflf 17704 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  y
) ) ) )
42, 3syl3an1b 1218 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  L  ( F " z )  C_  y
) ) ) )
5 simpl 443 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  L  ( F " z ) 
C_  y ) )  ->  x  e.  X
)
64, 5syl6bi 219 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F )  ->  x  e.  X )
)
76ssrdv 3198 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( J  fLimf  L ) `  F ) 
C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   U.cuni 3843   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Filcfil 17556    fLimf cflf 17646
This theorem is referenced by:  limfn2  25669  limfn3  25670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651
  Copyright terms: Public domain W3C validator