Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limom Structured version   Unicode version

Theorem limom 4852
 Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
limom

Proof of Theorem limom
StepHypRef Expression
1 ordom 4846 . 2
2 ordeleqon 4761 . . 3
3 ordirr 4591 . . . . . . 7
41, 3ax-mp 8 . . . . . 6
5 elom 4840 . . . . . . 7
65baib 872 . . . . . 6
74, 6mtbii 294 . . . . 5
8 limomss 4842 . . . . . . . . . . 11
9 limord 4632 . . . . . . . . . . . 12
10 ordsseleq 4602 . . . . . . . . . . . 12
111, 9, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
128, 11mpbid 202 . . . . . . . . . 10
1312ord 367 . . . . . . . . 9
14 limeq 4585 . . . . . . . . . 10
1514biimprcd 217 . . . . . . . . 9
1613, 15syld 42 . . . . . . . 8
1716con1d 118 . . . . . . 7
1817com12 29 . . . . . 6
1918alrimiv 1641 . . . . 5
207, 19nsyl2 121 . . . 4
21 limon 4808 . . . . 5
22 limeq 4585 . . . . 5
2321, 22mpbiri 225 . . . 4
2420, 23jaoi 369 . . 3
252, 24sylbi 188 . 2
261, 25ax-mp 8 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312   word 4572  con0 4573   wlim 4574  com 4837 This theorem is referenced by:  peano2b  4853  ssnlim  4855  peano1  4856  onesuc  6766  oaabslem  6878  oaabs2  6880  omabslem  6881  infensuc  7277  infeq5i  7581  elom3  7593  omenps  7599  omensuc  7600  infdifsn  7601  cardlim  7849  r1om  8114  cfom  8134  ominf4  8182  alephom  8450  wunex3  8606 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838
 Copyright terms: Public domain W3C validator