MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4687
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
StepHypRef Expression
1 ordom 4681 . 2  |-  Ord  om
2 ordeleqon 4596 . . 3  |-  ( Ord 
om 
<->  ( om  e.  On  \/  om  =  On ) )
3 ordirr 4426 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
41, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
5 elom 4675 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  om  <->  ( om  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
65baib 871 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
74, 6mtbii 293 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  -.  A. x ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
8 limomss 4677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9 limord 4467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  x )  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
111, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
128, 11mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) )
1312ord 366 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  om  =  x ) )
14 limeq 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  =  x  ->  ( Lim  om  <->  Lim  x ) )
1514biimprcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( om  =  x  ->  Lim  om ) )
1613, 15syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  Lim  om ) )
1716con1d 116 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  Lim  om  ->  om  e.  x ) )
1817com12 27 . . . . . 6  |-  ( -. 
Lim  om  ->  ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
1918alrimiv 1621 . . . . 5  |-  ( -. 
Lim  om  ->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
207, 19nsyl2 119 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  Lim  om )
21 limon 4643 . . . . 5  |-  Lim  On
22 limeq 4420 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( Lim  om  <->  Lim  On ) )
2321, 22mpbiri 224 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  Lim  om )
2420, 23jaoi 368 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  \/  om  =  On )  ->  Lim  om )
252, 24sylbi 187 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Lim  om )
261, 25ax-mp 8 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   omcom 4672
This theorem is referenced by:  peano2b  4688  ssnlim  4690  peano1  4691  onesuc  6545  oaabslem  6657  oaabs2  6659  omabslem  6660  infensuc  7055  infeq5i  7353  elom3  7365  omenps  7371  omensuc  7372  infdifsn  7373  cardlim  7621  r1om  7886  cfom  7906  ominf4  7954  alephom  8223  wunex3  8379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673
  Copyright terms: Public domain W3C validator