MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 4671
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
StepHypRef Expression
1 ordom 4665 . 2  |-  Ord  om
2 ordeleqon 4580 . . 3  |-  ( Ord 
om 
<->  ( om  e.  On  \/  om  =  On ) )
3 ordirr 4410 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
41, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
5 elom 4659 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  om  <->  ( om  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
65baib 871 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
74, 6mtbii 293 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  -.  A. x ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
8 limomss 4661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9 limord 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  x )  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
111, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
128, 11mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) )
1312ord 366 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  om  =  x ) )
14 limeq 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  =  x  ->  ( Lim  om  <->  Lim  x ) )
1514biimprcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( om  =  x  ->  Lim  om ) )
1613, 15syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  Lim  om ) )
1716con1d 116 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  Lim  om  ->  om  e.  x ) )
1817com12 27 . . . . . 6  |-  ( -. 
Lim  om  ->  ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
1918alrimiv 1617 . . . . 5  |-  ( -. 
Lim  om  ->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
207, 19nsyl2 119 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  Lim  om )
21 limon 4627 . . . . 5  |-  Lim  On
22 limeq 4404 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( Lim  om  <->  Lim  On ) )
2321, 22mpbiri 224 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  Lim  om )
2420, 23jaoi 368 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  \/  om  =  On )  ->  Lim  om )
252, 24sylbi 187 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Lim  om )
261, 25ax-mp 8 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   omcom 4656
This theorem is referenced by:  peano2b  4672  ssnlim  4674  peano1  4675  onesuc  6529  oaabslem  6641  oaabs2  6643  omabslem  6644  infensuc  7039  infeq5i  7337  elom3  7349  omenps  7355  omensuc  7356  infdifsn  7357  cardlim  7605  r1om  7870  cfom  7890  ominf4  7938  alephom  8207  wunex3  8363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
  Copyright terms: Public domain W3C validator